Cálculo del área de un circulo

En base al siguiente diagrama calcular el área de un circulo de radio r.

Area de un circulo.

Tenemos que: $\Delta{s} =$ aproximación lineal de un arco de circunferencia entre $s$ y $c$

$\Delta{a} = \frac{r}{2} \Delta{}$ área del triangulo $\bigtriangleup OSC$

Si hacemos tender la longitud de arco a cero obtenemos el diferencial del arco

$ds = \lim_{s \to 0} \Delta{s}$

Por lo tanto el área del circulo se obtiene integrando entre $0$ y $2\pi$

$A = \int_{0}^{2\pi r}\frac{r}{s} ds$ = $\frac{r}{2} \int_{0}^{2\pi r} = \frac{r}{2} s \mid_{0}^{2\pi r}$ = $\frac{r}{2} (2 \pi r - 0) = \pi r ^{2}$

Por lo tanto $A = \pi r ^{2}$

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