Teoría de conjuntos 1 – Introducción

En matemáticas informalmente podemos definir a un conjunto como una colección de elementos del mismo tipo.

Por ejemplo tenemos el conjunto de los números naturales N , el de los números pares, el de los impares, el de los números primos, el de hablantes de un determinado idioma etc.

Notación: Se designan a los conjuntos con letras mayúsculas A, B, C … y a los elementos que los componentes con minúsculas a,b,c,x,y…..

¿Como declaramos a un determinado conjunto?

Se los puede declarar por comprensión o por extensión

Por comprensión: Se definen en forma explicita a todos los elementos que conforman el conjunto.

Ejemplos:

A = {1,2.3.4.5}
B = {a,b,c,d,e}
C = {manzana , pera, banana}

Por extensión:

En este caso el conjunto se define mediante una expresión que permite determinar cada uno de sus elementos.

Ejemplos:

A = { x tal que x es un numero par}
B = {x tal que x es un entero mayor que 5 y menor que 15}
C = {x tal que es la solución de x^2+3x+1}

Nomenclatura para definir conjuntos:

Cabe hacer un paréntesis pasta explicar algunos símbolos y operadores útiles en teoría de conjuntos y en matemáticas en general.

“Tal que o tq” significa que lo que precede a tq define lo que precede a tq. En forma más compacta se utiliza “/”.

Operadores = , >, <, >= y <= permiten expresar las relaciones entre dos expresiones numéricas o algebraicas.

En ejemplo para B se podría expresar:

B = { x / x es un entero y x>5 y x < 15 }

Conjuntos notables

Los números se pueden clasificar en varios tipos de conjuntos, números enteros, racionales, reales, complejos etc. Por conversión se utilizando ciertas letras para determinar los diferentes tipos de números.

 \mathbb{N}- {0}={x/x es un número natural, no se incluye el cero}
\mathbb{N} = {x/x es un número natural}
\mathbb{Z}+ = {x/x es un número natural positivo}
\mathbb{Z}- = {x/x es un número entero negativo}
\mathbb{Z} = {x/x es un entero negativo, cero y positivo}
\mathbb{Q} = {x/x es un número racional}
\mathbb{R} = {x/x es un número racional}
\mathbb{C} = {x/x es un número complejo}

Álgebra sobre conjuntos

Sean A y B dos conjuntos. Se llama unión de A y B y se representa por A\cup B
al conjunto formado por los elementos que pertenecen a A o a B o a ambos. Se llama intersección de A y B y se representa por A \cap B al conjunto formado por los elementos que pertenecen simultáneamente a A y a B

Por ejemplo, si A={1,2,3,4} y B={2,4,5,6} entonces A \cup B={1,2,3,4,5,6}, A \cap B={2,4}.

Se dice que los conjuntos A y B son disjuntos si A \cap B=, es decir si no tienen elementos comunes. Por ejemplo, A={2,5,7} y B={3,4} son conjuntos disjuntos.

Diagramas de Venn

Los diagramas de Venn permiten representar en forma gráfica conjuntos y las relaciones entre ellos, como uniones, intersecciones etc.

Para el ejemplo anterior los conjunto A y B se pueden representar de la siguiente forma:

En ese caso la intersección A \bigcap B se puede representar como:

Y la unión A \bigcup B

Ejercicios

1. Sea A = {a,b,c} y B = {a,d,e,c}

A \cap  B = {a,c} y A \cup B = {a,b,c,d,e}

2. Sea A = {1,2,3,4} y B = {2,3,5,6,7}

A  \cap  B = {2,3} y A \cup B = {1,2,3,4,5,6,7}

3. Sea A = {a,b,c,d} y B = {2,3,4}
A\cap  B =  \varnothing y A \cup B = {a,b,c,d,2,3,4}

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