Ternas pitagóricas

A principios del siglo XX se descubrió en el territorio de la actual Iraq una tablilla perteneciente al imperio babilónica. Esta tablilla denominada Plimpton 322, contiene escritos que luego de un exhaustivo análisis se descubrió que la tablilla tiene escritas una tablas con ternas pitagórica, 1000 años antes que Pitágoras naciera!!. Los babilónicos tenias un sistema de numeración en base 60 (a diferencia del base 10 que usamos actualmente) y se supone que esas tablillas eran usadas para estudiar o para aplicaciones prácticas.

Las ternas pitagóricas son ternas de números enteros positivos que satisfacen el teorema de pitágoras.

Según la proposición 47 del libro I de “Los Elementos” de Euclides el teorema de pitágoras se define como:

Teorema:
"En los triángulos rectángulos el cuadrado del ángulo que subtiende al 
ángulo recto es igual a los cuadrados de los lados que comprenden el ángulo 
recto"
En lenguaje actual seria "El cuadrado del lado que se opone al ángulo recto 
es igual a la suma de los cuadrados de los lados que comprenden el angulo 
recto"

Si definimos al “lado que se opone al ángulo recto” como hipotenusa y a los
“lados que comprenden el angulo recto como catetos, llegamos a la famosa
definición de este famoso teorema:
“La suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la
hipotenusa”

Una vez recordando la enunciación de este teorema estamos en condiciones de definir lo que son las ternas pitagóricas:

Definición: Una terna pitagórica son ternas de números enteros positivos que satisfaces el teorema de pitágoras , es decir sean a,b,c ∈ \mathbb{N} la terna (a,b,c) es pitagórica si y solo si a^2+b^2=c^2 .

ternas_pitagoricas_1

Ejemplos: (3,4,5) , (5,12,13), (8,15,17), (28,45,53)

Existen infinitas ternas pitagóricas, en efecto sea cualquier d ∈ \mathbb{N} distinto de a,b y c, son ternas pitagóricas todas las ternas (da,db,dc) . Este tipo de ternas si bien son pitagóricas tiene poco interés.

Lo interesante es encontrar ternas donde sus componentes no tiene factores en común a excepción del 1. Este tipo de ternas se denominas Ternas Pitagóricas Primitivas TPP

Observaciones:

1- Si (a,b,c) es una TPP entonces a y b es uno par y el otro impar. En efecto supongamos que tanto a como b son pares entonces a^2+b^2=c^2 . y c es también par, en ese caso a,b y c tiene como factor común al 2 y por lo tanto no forman una TPP.

Si a y b son ambos impares a^2+b^2=c^2 y c será par, es decir existen números x,y, z tales que a = 2x+1 y b=2y+1 \to (2x+1)^2 + (2y+1)^2 =

z^2 4x^2 + 2x + 1 + 2y^2 + 4y + 1 = z^2 y 2x(x+2) + 2y(y+2) + 2 = z^2 \to x(x+2) + y(y+2) + 2 = z^2/2 .

Llegando a un terrible contradicción en donde se iguala un número par con otro impar.

Por lo tanto a y b son uno par y el otro impar.

2- Dado que a y c son impares c+a y c-a son ambos pares.

Sea m=(c+a)/2 y n=(c-a)/2 y m>n, m+n=(c+a)/2 + (c--a)/2 =c y m-n=(c+a)/2 - (c-a)/2 = a .

Cualquier divisor de m y n será un divisor común de c y a, entonces mcd(c,a)=1 y por lo tanto mcd(m,n) = 1

De a^2+b^2=c^2 tenemos b^2 = c^2 - a^2 = (c-a)(c+a) = 4mn y mn = (b/2)^2 y como mcd(m,n) = 1 tanto m como n tienen que ser cuadrados.

Tomamos u^2 = m y v^2=n y como m>n entonces u>v y a = m-n y c=m+n y a=u^2 - v^2 , c=u^2 + v^2, b^2 = 4mn = 4u^2v^2 y b=2uv

Con estas fórmulas definiendo u , v podemos obtener cualquier terna pitagórica asociadas. Por lo tanto tenemos infinitas ternas pitágoricas.

Teorema: Una terna pitagórica (a,b,c) con b par , es primitiva si y solo si a = u^2-v^2

c= u^2+v^2

b=2u^2v^2

con u>v y de paridades opuestas

Por lo tanto:

a^2+b^2=c^2 = (u^2-v^2) + (2uv)^2 =

[(u^2-v^2)(u^2+v^2)]^2 + (2u^2v^2)^2 =

(u^2)^2 + (v^2) = c^2

Por lo tanto (a,b,c) es una TPP.

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