Una x escurridiza

Hallar x en \sqrt{x} + 1=0

En este caso tenemos que encontrar los valores de x tal que \sqrt x = -1 .

Sea z = x+iy un numero complejo, se sabe que coordenadas polares z = re^{i\theta} con \theta el ángulo formado entre el numero complejo y el eje de las abscisas.
De la expansión en serie de Taylor e^{i\theta} = \cos(\theta) + i\sin(\theta)  \to z = re^{i\theta}

Para \theta = \pi tenemos: z = \cos(\pi) + \sin(\pi)i = -1
Por lo tanto z= e^{i\pi} = -1 , como e^{i\theta}  es un función periódica en \mathbb{C} la expresión anterior aplica a la primera solución de esta función.

Por lo tanto: z = e^{ik\pi/n} = -1  \to \sqrt x = e^{ik\pi/n}
\to  (\sqrt x )^2 =  (e^{ik\pi/n})^2 =   e^{2ik\pi/n} = x

z = re^i\theta con \theta el ángulo formado entre el número complejo y el eje de las abscisas.
De la expansión en serie de Taylor e^i\theta = \cos(\theta) + i\sin(\theta)  \to z = re^i\theta.

Para \theta = \pi tenemos: z = \cos(\pi) + \sin(\pi)i = -1

Por lo tanto z= e^i\pi = -1 , como e^{i\theta}  es un función periódica en \mathbb{C} la expresión anterior aplica a la primera solución de esta función.

Entonces: z = e^{ik\pi/n} = -1  \to \sqrt x = e^{ik\pi/n}   \to  (\sqrt x )^2 =  (e^{ik\pi/n})^2 =   e^{2ik\pi/n} = x

Finalmente x = e^{2ik\pi/n}

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