Una x escurridiza

Hallar x en $\sqrt{x} + 1=0$

En este caso tenemos que encontrar los valores de x tal que $\sqrt x = -1$ .

Sea $z = x+iy$ un numero complejo, se sabe que coordenadas polares $z = re^{i\theta}$ con $\theta$ el ángulo formado entre el numero complejo y el eje de las abscisas.
De la expansión en serie de Taylor $e^{i\theta} = \cos(\theta) + i\sin(\theta) \to z = re^{i\theta}$

Para $\theta = \pi$ tenemos: $z = \cos(\pi) + \sin(\pi)i = -1$
Por lo tanto $z= e^{i\pi} = -1$ , como $e^{i\theta}$ es un función periódica en $\mathbb{C}$ la expresión anterior aplica a la primera solución de esta función.

Por lo tanto: $z = e^{ik\pi/n} = -1 \to \sqrt x = e^{ik\pi/n}$
$\to (\sqrt x )^2 = (e^{ik\pi/n})^2 = e^{2ik\pi/n} = x$

$z = re^i\theta$ con $\theta$ el ángulo formado entre el número complejo y el eje de las abscisas.
De la expansión en serie de Taylor $e^i\theta = \cos(\theta) + i\sin(\theta) \to z = re^i\theta.$

Para $\theta = \pi$ tenemos: $z = \cos(\pi) + \sin(\pi)i = -1$

Por lo tanto $z= e^i\pi = -1$ , como $e^{i\theta}$ es un función periódica en $\mathbb{C}$ la expresión anterior aplica a la primera solución de esta función.

Entonces: $z = e^{ik\pi/n} = -1 \to \sqrt x = e^{ik\pi/n} \to (\sqrt x )^2 = (e^{ik\pi/n})^2 = e^{2ik\pi/n} = x$