Teoría de conjuntos 3 – teoría axiomática ZF

Durante el siglo XIX se trabajó denodadamente en la fundamentacion de la matemáticas, generando grandes desarrollos tantos a nivel de lógica , concepto de límite, integral ,definiciones formales del concepto de número.

Unos de esos trabajos de trató en generar una teoría axiomática de conjuntos, de la cual se podría demostrar teoremas relacionados.

Definición:

Para toda propiedad φ(X) definible en la teoría, existe un conjunto Y cuyos elementos son exactamente los conjuntos X que cumplen φ(X).

Gottlob Frege (1848-1925)

En otros términos, Frege postulaba la existencia del conjunto de la siguiente forma

Y = {X | \Phi (X)}.

Pero Bertrand Russel descubrió contradicciones en esta teoría que dio por tierra todo el trabajo de Frege. Estas contradicciones se conocen como la paradojas de Russel.

Paradojas de Russell

Si definimos el predicado que permite generar el conjunto como “Conjunto que no pertenece a si mismo”, formalmente sería \Phi(X) = {X | X \not \in X}.

Estaríamos usando correctamente la definición de conjunto de Frege pero se llega a una contradicción, como muestra el primero ejemplo.

Por ejemplo:

  1. Sea el conjunto A definido como A = { x: x \not \in x } entonces \forall b \in A b \in A  \Leftrightarrow b \not \in A pero A \in A  \Leftrightarrow A \not \in A (\Leftrightarrow )
  2. Sea el conjunto M formado por todos los conjuntos , entonces M \in M pues es un conjunto (según la hipótesis) pero un conjunto puede contenerse a si mismo (conjunto singular) o no se contiene a si mismos (conjunto normal). Entonces M es el conjunto de todos los conjuntos normales , si M es normal debe estar contenido en M , pero entonces no es normal , sino singular. Si es singular, no puede estar dentro del conjunto de conjuntos normales, luego no puede estar en {\displaystyle M }, llegando a un paradoja.

Ejemplo para el primer caso: “Todo barbero debe ser atendido por un hombre que sea barbero que son exclusivamente aquellos que no se afeitan a si mismo”. Formalmente:

{\exists y \forall x / x \in y \Leftrightarrow \Phi }. Siendo \Phi la función predicado: “no lo afeita el barbero”. Entonces \Phi(x) = {x \not \in x }

Si x = y \Rightarrow y \in y \Leftrightarrow y \not \in y ABSURDO.

Solución de estas paradojas:

En 1903 Russel propone en “Teoría de Tipos” que hay una componente de circularidad en estas paradojas, por lo tanto eliminando de los predicados que definen a los conjuntos podemos evitarlas.

Para poder generar un sistema consistente y coherente a nivel lógico es necesario tener un sistema axiomático en la que se fundamente ese sistema. Por ejemplo en geometría plana disponemos de los enunciados de Euclides en las que se basa las proposiciones y teoremas de esa geometría.

Definición: Una teoría axiomática esta formada por postulados o axiomas que son proposiciones primeras que se aceptan sin demostración. En una disciplina pueden darse axiomas equivalentes , donde en una puede ser un axioma y en otra un teorema.

Por lo tanto la clasificación de una proposición como axioma o teorema depende del sistema que queramos formalizar.

Características de una teoría axiomática:

  • Debe mostrar la condición de que no tenga contradicciones. En ese caso el sistema axiomático es compatible.
  • Debe ser independiente, es decir ningún axioma puede ser demostrado en base a los demás.
  • Toda proposición que surja de la teoría axiomática en estudio debe ser factible de ser demostrable o refutable. No puede formarse un nuevo axioma de lo ya establecido (minimalidad del sistema axiomático).
  • Se dice que el sistema axiomático es categórico si para par de interpretaciones completas existe un isomorfismo que las relacione.
  • Ese conjunto de interpretaciones completas forman la matemática aplicada (a diferencia de la matemática pura que trabaja con abstracciones).

Requisitos para crear una teoría axiomática:

  • Lenguaje , símbolos y fórmulas de la teoría.
  • Los axiomas, que son proposiciones acerca de los objetos de la teoría y que imponen funcionamiento de dichos objetos.
  • Los teoremas , que son todas las proposiciones demostrables con herramientas lógicas a través de los axiomas.

En Teoría de Conjuntos también se estuvo trabajando en generar una teoría axiomática, una de ellas , es la denominada ZF, por sus autores Zermelo y Fraenkel, que es la teoría que vamos a analizar en este articulo .

En la teoría ZF todas las variables del lenguaje formal utilizados son conjuntos

Axiomas de la teoría axiomática ZF

1- Axiomas de extensibilidad y separación

El axioma extensibilidad afirma que si dos conjuntos tienen los mismo elementos entonces son iguales:

\forall XY (\forall U \in X  \Leftrightarrow U \in Y) \ \Rightarrow  X = Y

El axioma de separación expresa que si \Phi (x) es uan formula del lenguaje de la teoría de conjuntos con a los sumo la variable X libre y A es un conjunto, entonces la clase {X / X \in A \wedge \Phi(x) } es un conjunto.

Este axioma obliga a que los conjuntos solo puedan ser creados con conjuntos ya existentes. En a práctica este axioma es un esquema de axiomas , uno para cada predicado, o sea la teoría axiomática ZF tiene infinitos axiomas.

2- Axiomas de par, unión y de las partes.

El axioma de par indica que existen infinito conjuntos:

\forall A \forall B \exists C (\forall X (X \in C \Leftrightarrow  X = A \vee X = B  ))

Este axioma asegura que la colección de conjuntos es un conjunto y que todo conjunto pertenece a otro conjunto.

El axioma de unión expresa que si A es un conjunto , la unión de elementos de A es un conjunto.

\bigcup{A} = \forall{A} \exists{B} (\forall{X} (X \in B \Leftrightarrow \exists{ Y}(Y \in A \wedge X \in Y)))

Por lo tanto , dado un conjunto A , existe un conjunto B cuyos elementos, son los elementos de los elementos de A

B = \bigcup_{x \in A} X

El axioma de partes indica que la parte de A es un conjunto.

\forall A \exists B (\forall X(X \in B \Leftrightarrow   X \subseteq A ))

Teoremas:

Estos teoremas se pueden demostrar usando los axiomas mencionados.

a- Si A y B son conjuntos A \cup B,  A\cap B, A-B, {A,B } \mathcal{P}(A) , \bigcup{A} son conjuntos.

b- Si A y B son conjuntos , entonces A \times B es un conjunto.

c- Las relacionas obtenidas de productos cartesianos también son conjuntos.

3- Axioma de reemplazamiento

Expresa que la imagen de un conjunto por una función también es un conjunto

\forall{X} \exists ! Y \Phi(X) \Rightarrow \forall{A} \exists{B}  \forall{Y}(Y \in B \Leftrightarrow  \exists{X}(X \in A \wedge \Phi(X,Y))     )

El símbolo \exists ! Y significa, existe un único Y…

Conclusión:

En la teoría axiomática de conjuntos se respeta la idea fundamental de aceptar que la colección de objetos pueda ser un conjunto, pero impone la condición de que todos los objetos de esa colección ya existan antes de crearla. De esta forma se evita la paradoja de Russell que encabeza este artículo.

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