Teoría de conjuntos 4 – Aplicaciones y funciones

Hasta el momento hemos definidos propiedades de los conjuntos y las operaciones que se puede hacer con ellos. En este capitulo vamos a definir las posibles relaciones que pueden realizarse entre elementos de los dos o más conjuntos.

Como introducción a las aplicaciones y funciones en teoría de conjuntos vamos a describir el concepto de producto cartesiano.

Definición: Se llama producto cartesiano del conjunto $A$ por el conjunto $B$ , al conjunto cuyos elementos son los pares ordenados $(x,y)$ tales que $x$ pertenece a $A$ e $y$ pertenece a $B$

Simbólicamente: $A \times B =$ { $(x,y) / x \in A \wedge y \in B$ }

Es de destacar que cada elemento del producto cartesiano es un par ordenado cuyo primer elemento pertenece al primer conjunto el segundo elemento al segundo.

Ejemplos:

Sea $A = \{a,b\}$ y $B = \{1,2,3\}$ entonces

$A \times B = \{(a,1), (a,2), (a,3), (b,1), (b,2), (b,3) \}$

Ejemplo 2: Se $A = \{m,n\}$ entonces $A \times A = \{(m,m), (m,n) , (n,n) , (n,m) \}$

Por lo tanto la cantidad de elementos de $A \times A = mn$

La cantidad de elementos de un conjunto $A$ se denomina cardinal del conjunto y se denota con $|A|$ . Por lo tanto sean los conjuntos $A$ y $B$ de cardinalidad $|A|$ y $|B|$ respectivamente, la cardinalidad del producto cartesiano $A \times B$ será $|A \times B | = |A||B|$

Ejemplo 3: Dado dos conjuntos , donde uno es el conjunto vacio, su producto cartesiano será el conjunto vacío.

Ejemplo 4: Si dados dos conjuntos , uno de ellos es infinito (de infinita cantidad de elementos) y el otro no es vacío, la cardinalidad del producto cartesiano será infinita.

Ejemplo 5:

Sea $D =$ {1,2,3} y $E$ = {m,n} entonces

$D \times E$ = {(1,m), (2,m), (3,m), (1,n), (2,n), (3,n) }

$E \times D$ = {(m,1), (m,2), (m,3), (n,1), (n,2), (n,3) }

Por lo tanto, en general el producto cartesiano no es conmutativo.

Relaciones entre conjuntos:

Si consideramos al conjunto de los pares ordenados del conjunto producto $A \times B$ tales que el primer elemento del par ordenado esté vinculado con el segundo elemento del par por alguna condición o propiedad , el subconjunto de $A \times B$ así obtenido , define una relación de $A$ en $B$ .

Sea $R$ la relación entre $A$ y $B$ se define como:

$R =$ { $(x,y) / x \in A \wedge y \in B$ }

La relación se denota como $xRy$

Al conjunto $A$ se lo denomina conjunto de partida y el conjunto $B$ conjunto de llegada .

Ejemplos:

Sean $A$ y $B$ dos conjuntos y $\Gamma = A \times B$ se dice que es una correspondencia o relación entre $A$ y $B$
Sea el par ordenado $\{ (x,y) \in \mathbb{N} / y = x ^2 \}$ es una relación donde tanto el conjunto de salida como el de llegada el el grupo de los números naturales $\mathbb{N}$
Sea $O$ un punto en un plano $\Pi$ y sea $C$ una circunferencia con centro $O$ y radio no nulo, contenido en $\Pi$ . El conjunto de pares ordenados $(r,A)$ donde r es una recta de $\Pi$ que pasa por $O$ y $A$ un punto donde la recta corta a $C$ Se puede generar una relación entre el conjunto de rectas del plano $\Pi$ que pasan por $O$ (conjunto de salida) y el conjunto de llegada serían los puntos del la circunferencia $C$

Para el ejemplo anterior si llamamos como $S$ al conjunto de las rectas que pasan por $O$ y a $M$ al conjunto de los puntos del plano $\Pi$ tenemos una relación entre S y M.

Aplicaciones entre conjuntos:

Las relaciones entre conjuntos puede definir una o varias aplicaciones. Se define como aplicación entre dos conjuntos cuales quiera a la operación que relaciona elementos del conjunto de salida con el del conjunto de llegada. Los conjuntos de salida y de llegada pueden ser los mismos, pero al tomar subconjuntos del conjunto de elementos de salida (dominio) y de llegada (codominio) la aplicación puede ser diferente. Eso se ve en los últimos dos ejemplos. La aplicación entre los conjuntos $A$ y $B$ se denota como $A \to B$ .

Por lo tanto definimos como dominio a un subconjunto del conjunto de salida y el codominio a un subconjunto de conjunto de llegada de la aplicación entre dos conjuntos participantes de la aplicación.

En símbolos: Sea $A$ el conjunto de salida de una aplicación $\Gamma$ y $A' \subset A$ y $B$ el conjunto de llegada y $B' \subset B$ , y $\Gamma : A' \to B'$ una aplicación , entonces $A'$ y $B'$ son el dominio y codominio respectivamente de la aplicación $\Gamma$

Ejemplos:

Sea $A$ = {a,b,c,d,e} y $B$ = {1,2,3,4,5} y la aplicación $A \to B$ = { $(a,2),(b,3),(c,4)$ }. El dominio y codominio de esta aplicación es $A' \subset A$ = {a,b,c} y $B' \subset B$ = {2,3,4}

Aplicación dada por la imagen.

Al codominio también se lo llama imagen de la aplicación. Sea $\Gamma: A \to B$ la imagen es la aplicacion reciproca, o sea $B \to A$ . A esa aplicación se la denomina aplicación inversa de $A \to B$ y se denota como $\Gamma^{-1}$ .

La aplicación es una generalizacion del concepto de función visto es Cálculo. La definición de función es mas restrictiva y la veremos a continuación.

Funciones

Se dice que una relación $f$ es una función si $\forall x \in A$ existe a lo sumo un objeto correspondiente a $x$ por $f$ . Es decir

El conjunto de salida es igual al conjunto de definición ( $A$ = dominio de $f$ )
Se denota como $f: A \to B$

Tipo de funciones:

Inyectiva: Se dice que una funcion es inyectiva si para todo $x \in A \exists ! y \in B$ . Es decir la imagen de un determinado $x \in A$ es uno y solo un elemento de $y \in B$ . Esta definición es equivalente a:

$f: A \to B$ es inyectiva si $\forall a,a' \in A , f(a)=f(a') \Rightarrow a=a'$ .

Nota: El símbolo $x \in A \exists ! y \in B$ significa “Existe un único y pertenciente a B”

Ejemplos:

Se $\mathbb{N}$ el conjunto de los números naturales y sea $\mathbb{Z}$ el conjunto de los números enteros. La función $f: \mathbb{N} \to \mathbb{Z} / f(x) = x^2$ NO es inyectiva porque dado $x \not = -x$ se tiene que $(-x) ^2 = x ^2$
La función contante de valor $b$ tampoco es inyectiva porque $\forall x f(x) = b$
Para todo conjunto $A$ la función idéntica es inyectiva.
La aplicación de $A =$ { $1,2,3,4$ } $\to B =$ { $a,b,c$ } definida por $\begin{cases} 1 \to a \\ 2 \to b \\ 3 \to c \end{cases}$ es inyectiva.
La aplicación de $A =$ { $1,2,3,4$ } $\to B =$ { $a,b,c$ } definida por $\begin{cases} 1 \to a \\ 2 \to b \\ 3 \to b \end{cases}$ NO es inyectiva, por que $f(2)=f(3)$ y $2 \not = 3$

Sobreyectiva: Se dice que una función es sobreyectiva si para todo $b$ de $B$ existe un $a$ de $A$ tal que $f(a) = b$ . Es decir todo elemento del conjunto de salida $A$ tiene su correspondiente imagen en $B$

En símbolos $f$ es sobreyectiva $\Leftrightarrow \forall b \in B \exists a \in A / f(a)= b$ .

Ejemplos:

La aplicación $f: \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ dada por $f(x)=2x$ NO es una función la imagen posobreyectiva pues $f$ de $\mathbb{N}$ son los números pares es decir dado un número impar $y$ no existe un natural $x / f(x) = y$
La función idéntica es sobreyectiva.
La función $f: \mathbb {N} \to \mathbb{N} = \begin{cases} f(x) = x+1 , x= 2k \\ f(x) = x-1 , x = 2k+1 \end{cases}$ es sobreyectiva, en efecto dado un número natural $y$ impar se tiene que $y-1$ es par, entonces $f(y-1)=y$ y si $y$ es par se tiene que $y+1$ es impar, por lo cual $f(y+1) = y$