Teoría de conjuntos 4 – Aplicaciones y funciones

Hasta el momento hemos definidos propiedades de los conjuntos y las operaciones que se puede hacer con ellos. En este capitulo vamos a definir las posibles relaciones que pueden realizarse entre elementos de los dos o más conjuntos.

Como introducción a las aplicaciones y funciones en teoría de conjuntos vamos a describir el concepto de producto cartesiano.

Definición: Se llama producto cartesiano del conjunto A por el conjunto B , al conjunto cuyos elementos son los pares ordenados (x,y) tales que x pertenece a A e y pertenece a B

Simbólicamente: A \times B = {(x,y) / x \in A \wedge y \in B}

Es de destacar que cada elemento del producto cartesiano es un par ordenado cuyo primer elemento pertenece al primer conjunto el segundo elemento al segundo.

Ejemplos:

Sea A = \{a,b\} y B = \{1,2,3\} entonces

A \times B =  \{(a,1), (a,2),  (a,3),  (b,1),  (b,2),  (b,3) \}

Ejemplo 2: Se A = \{m,n\} entonces A \times A = \{(m,m), (m,n) , (n,n) , (n,m) \}

Por lo tanto la cantidad de elementos de A \times A = mn

La cantidad de elementos de un conjunto A se denomina cardinal del conjunto y se denota con |A| . Por lo tanto sean los conjuntos A y B de cardinalidad |A| y |B| respectivamente, la cardinalidad del producto cartesiano A \times B será |A \times B | = |A||B|

Ejemplo 3: Dado dos conjuntos , donde uno es el conjunto vacio, su producto cartesiano será el conjunto vacío.

Ejemplo 4: Si dados dos conjuntos , uno de ellos es infinito (de infinita cantidad de elementos) y el otro no es vacío, la cardinalidad del producto cartesiano será infinita.

Ejemplo 5:

Sea D = {1,2,3} y E = {m,n} entonces

D \times E = {(1,m), (2,m), (3,m), (1,n), (2,n), (3,n) }

E \times D = {(m,1), (m,2), (m,3), (n,1), (n,2), (n,3) }

Por lo tanto, en general el producto cartesiano no es conmutativo.

Relaciones entre conjuntos:

Si consideramos al conjunto de los pares ordenados del conjunto producto A \times B tales que el primer elemento del par ordenado esté vinculado con el segundo elemento del par por alguna condición o propiedad , el subconjunto de A \times B así obtenido , define una relación de A en B .

Sea R la relación entre A y B se define como:

R = { (x,y) / x \in A  \wedge y \in B }

La relación se denota como xRy

Al conjunto A se lo denomina conjunto de partida y el conjunto B conjunto de llegada .

Ejemplos:

  • Sean A y B dos conjuntos y \Gamma  = A \times B se dice que es una correspondencia o relación entre A y B
  • Sea el par ordenado \{ (x,y) \in \mathbb{N}  | y = x ^2 \} es una relación donde tanto el conjunto de salida como el de llegada el el grupo de los números naturales \mathbb{N}
  • Sea O un punto en un plano \Pi y sea C una circunferencia con centro O y radio no nulo, contenido en \Pi . El conjunto de pares ordenados (r,A) donde r es una recta de \Pi que pasa por O y A un punto donde la recta corta a C Se puede generar una relación entre el conjunto de rectas del plano \Pi que pasan por O (conjunto de salida) y el conjunto de llegada serían los puntos del la circunferencia C
  • Para el ejemplo anterior si llamamos como S al conjunto de las rectas que pasan por O y a M al conjunto de los puntos del plano \Pi tenemos una relación entre S y M.

Aplicaciones entre conjuntos:

Las relaciones entre conjuntos puede definir una o varias aplicaciones. Se define como aplicación entre dos conjuntos cuales quiera a la operación que relaciona elementos del conjunto de salida con el del conjunto de llegada. Los conjuntos de salida y de llegada pueden ser los mismos, pero al tomar subconjuntos del conjunto de elementos de salida (dominio) y de llegada (codominio) la aplicación puede ser diferente. Eso se ve en los últimos dos ejemplos. La aplicación entre los conjuntos A y B se denota como A \to B .

Por lo tanto definimos como dominio a un subconjunto del conjunto de salida y el codominio a un subconjunto de conjunto de llegada de la aplicación entre dos conjuntos participantes de la aplicación.

En símbolos: Sea A el conjunto de salida de una aplicación \Gamma  y A' \subset A y B el conjunto de llegada y B' \subset B , y \Gamma : A' \to B' una aplicación , entonces A' y B' son el dominio y codominio respectivamente de la aplicación \Gamma

Ejemplos:

Sea A = {a,b,c,d,e} y B = {1,2,3,4,5} y la aplicación A \to B = {(a,2),(b,3),(c,4)}. El dominio y codominio de esta aplicación es A' \subset A = {a,b,c} y B' \subset B = {2,3,4}

Aplicación dada por la imagen.

Al codominio también se lo llama imagen de la aplicación. Sea \Gamma: A \to B la imagen es la aplicacion reciproca, o sea B \to A . A esa aplicación se la denomina aplicación inversa de A \to B y se denota como \Gamma^{-1} .

La aplicación es una generalizacion del concepto de función visto es Cálculo. La definición de función es mas restrictiva y la veremos a continuación.

Funciones

Se dice que una relación f es una función si \forall x \in A   existe a lo sumo un objeto correspondiente a x por f . Es decir

  • El conjunto de salida es igual al conjunto de definición ( A = dominio de f )
  • Se denota como f: A \to B

Tipo de funciones:

Inyectiva: Se dice que una funcion es inyectiva si para todo x \in A \exists ! y \in B . Es decir la imagen de un determinado x \in A es uno y solo un elemento de y \in B . Esta definición es equivalente a:

f: A \to B es inyectiva si \forall a,a' \in A , f(a)=f(a') \Rightarrow  a=a' .

Nota: El símbolo x \in A \exists ! y \in B significa “Existe un único y pertenciente a B”

Ejemplos:

  • Se \mathbb{N} el conjunto de los números naturales y sea \mathbb{Z} el conjunto de los números enteros. La función f: \mathbb{N} \to   \mathbb{Z} / f(x) = x^2 NO es inyectiva porque dado x \not = -x  se tiene que (-x) ^2  = x ^2
  • La función contante de valor b tampoco es inyectiva porque \forall x  f(x) = b
  • Para todo conjunto A la función idéntica es inyectiva.
  • La aplicación de A = {1,2,3,4 } \to  B = { a,b,c } definida por \begin{cases}   1 \to a \\ 2 \to b \\ 3 \to c  \end{cases}  es inyectiva.
  • La aplicación de A = {1,2,3,4 } \to  B = { a,b,c } definida por \begin{cases}   1 \to a \\ 2 \to b \\ 3 \to b \end{cases} NO es inyectiva, por que f(2)=f(3)  y 2  \not = 3

Sobreyectiva: Se dice que una función es sobreyectiva si para todo b de B existe un a de A tal que f(a) = b . Es decir todo elemento del conjunto de salida A tiene su correspondiente imagen en B

En símbolos f es sobreyectiva \Leftrightarrow \forall b \in B \exists a \in A / f(a)= b .

Ejemplos:

  • La aplicación f: \mathbb{N} \to \mathbb{N} dada por f(x)=2x NO es una función la imagen posobreyectiva pues f de \mathbb{N} son los números pares es decir dado un número impar y no existe un natural x / f(x) = y
  • La función idéntica es sobreyectiva.
  • La función f: \mathbb {N} \to \mathbb{N} = \begin{cases} f(x) = x+1  , x= 2k \\ f(x) = x-1 , x = 2k+1 \end{cases} es sobreyectiva, en efecto dado un número natural y impar se tiene que y-1 es par, entonces f(y-1)=y  y si y  es par se tiene que y+1  es impar, por lo cual f(y+1) = y

Biyectiva: Una función es biyectiva o biunívoca si es inyectiva y sobreyectiva.

Ejemplos:

  • La aplicación de A = \{1,2,3 \}   \to  B = \{ a,b,c \} definida por \begin{cases}   1 \to a \\ 2 \to b \\ 3 \to c  \end{cases} es biyectiva.

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