Teoría de conjuntos 6 – Relación de equivalencia

Existen varios tipos de relaciones entre conjuntos, en Aplicaciones y Funciones vimos los aspectos generales de la relaciones entre conjuntos.

En este post vamos a ver una relación muy importante y que se usa tanto en teoría de conjuntos, álgebra o matemática discreta es la relación de equivalencia.

Definición:

Sea la relación R una relación entre los conjuntos A y B , se dice que es de equivalencia cuando cumple las siguientes propiedades:

  1. Reflexividad:
  2. Simetria
  3. Transitividad

Una relación es reflexiva cuando \forall x \quad xRx

Es simétrica cuando \forall x,y \quad xRy \Rightarrow yRx

Y es transitiva cuando \forall x,y,z \quad xRy \land yRz \Rightarrow xRz

Cuando aRb es una relación de equivalencia entre a y b la denotamos como a \sim b

Ejemplo:

Sea A un conjunto y R= \{ x,y  \in A / x = y \} es una relación de equivalencia. En efecto.

  1. Para todo x \in A  , se cumple que x\sim x \to Reflexiva
  2. Si x\sim x implica y\sim x \to Simétrica
  3. Si x\sim y e y\sim z \to  x\sim z \to Transitiva

Ejemplo 2:

Si E es el conjunto de rectas del plano, la relación a\sim b  \iff a \| b es una relación de equivalencia en E . En efecto

  1. Toda recta el paralela a si misma.
  2. Si a \| b \to b \| a
  3. Si a \| b  \land   b \| c   \to a \| c

En cambio la relación a \perp  b  NO es una relación de equivalencia por que a \not \perp a y por lo tanto no es una relación reflexiva. Con esto ya alcanza para decir que no es una relación de equivalencia, pero es interesante verificar las otras propiedades.

Si a \perp b  \to  b \perp a se cumple la propiedad de simetría

Si a \perp b \land    b \perp c   \to  a  \not \perp c sino que a \quad y \quad c son paralelas, entonces no se cumple la propiedad transitiva.

Ejemplo 3:

Sea los vectores \mathbf{v} , \mathbf{u}  \in \mathbb{R}^n la relación \mathbf{v} \| \mathbf{u} es una relación de equivalencia. En efecto:

  1. Todo vector es paralelo a si mismo.
  2. Si \mathbf{v} \| \mathbf{u} \to \mathbf{u} \| \mathbf{v}
  3. Si \mathbf{v}  \| \mathbf{u}   \land \mathbf{u}   \|          \mathbf{w} \to \mathbf{v} \| \mathbf{w}

Ejemplo 4:

Se dice que el conjunto A es coordinable con el conjunto B si existe una biyección entre A y B .

Sea E un conjunto , la relación X \sim Y si y solo si X es coordinable con Y , es una relación de equivalencia en \mathcal{P}(E) . En efecto:

  1. Para todo X \subset E \ la función idéntica* de X es una biyección de X  \to Reflexiva.
  2. Si X es coordinable con Y , existe una biyección f de X en Y y por lo tanto existe la función inversa f ^{-1} que es una biyección de Y en X \to Simétrica.
  3. Si X es coordinable con Y y Y es coordinable con Z , existen biyecciones f y g de X en Y y de Y en Z respectivamente la composición gof es una biyección de X en Z \to Transitiva.

* Se A un conjunto , se llama “diagonal de A \times A ” y se denota como \Delta A , al conjunto

\Delta A  = \{ (x,x): x \in A \}

La correspondencia \Delta A \to A se llama “función idéntica de A” y para todo x \in A \quad I_d(x) = x

Ejemplo 4:

Sea a,b \in \mathbb{N} \land a < b si \forall  a | b  se dice que b divide a a o b es múltiplo de a . En ese caso el conjunto de los números a_{i} forman una clase de equivalencia : “Divisores de b

Se dice que a es congruente con b módulo m cuando el resto de a/m es b donde a = mk + b  con k,m,b  \in \mathbb{N} . Si b = 0 a es divisible por b , es decir a | b módulo m .

Sea a el representante de la clase “divisible por b ” se denota por [a] .

La relación de congruencia se denota con el símbolo \equiv y es una relación de equivalencia.

En efecto:

  • Para todo número entero a a-a=0 y como 0 es múltiplo de m resulta a \equiv a \pmod{m}  \to Reflexiva.
  • Si a \equiv  b   \pmod{m} se tiene a-b es múltiplo de m es decir existe un entero k tal que a-b = mk pero entonces b-a = (-k)m de donde b-a es múltiplo de m , por lo tanto a \equiv b  \pmod{m}  \to Simétrica.
  • Si a \equiv  b  \pmod{m} y b \equiv c  \pmod{m} se tiene que a-b y b-c son múltiplos de m . Es decir existen dos números enteros k \land k' tales que a-b = mk y b-c=mk' , sumando miembro a miembro las anteriores igualdades tenemos a-c = (k+k')m o sea a-c es múltiplo de m y por lo tanto a \equiv c  \pmod{m} \to Transitiva.

Ejemplo 5:

Sean p, q, r , s enteros, con q \land  s  \neq 0. Definimos p/q \sim r/s  si ps=qr. Claramente \sim es refleja y simétrica. Para mostrar que también es transitiva, supongamos que p/q \sim r/s \land  r/s \sim t/u , con q, s, u todos distintos de cero. Entonces ps=qr \land  ru=st

Por lo tanto, psu=qru=qst .

Como s \neq 0 \quad pu=qt . Así, p/q \sim t/u.

Relación de equivalencia y conjunto cociente:

Definición: Sea E un conjunto y R una relación de equivalencia en E se llama clase de equivalencia módulo R (o según R) a la imagen de R por \{x\}, donde \{x\} es un elemento de la relación de equivalencia y se denomina “representante de la clase” .

Es decir R(x)= \{ y / y \in E   \land x \sim y\}

Definición: Sea E un conjunto y R una relación de equivalencia en E por R. Se llama conjunto cociente de E por R al conjunto de las clases de equivalencia módulo R en E. Al conjunto cociente se denota como E/R.

Lema: Si R es una relación de equivalencia en un conjunto E, entonces para todo para (x,y) perteneciente a E \times E se tiene que x \sim y  \iff R(x) = R(y) .

Teorema: Sea E un conjunto y R una relación de equivalencia en E . El conjunto cociente de E es una partición de E

Demostración: \forall x \in E \quad x \in R(x) , los elementos de E/R son subconjuntos no vacíos de E y sea R(x) y R(y) dos elementos de E/R y sea z  \in R(x) \cap R(y) \Rightarrow  x \sim y \quad y \sim z   \Rightarrow  x \sim y entonces por el lema anterior R(x) =  R(y) . Propiedad simétrica y transitiva.

Por lo tanto los elementos de E/R son dos a dos disjuntos \Box .

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