Teoría de conjuntos 7 – Relación de orden

En este apartado vamos a estudiar la estructuras definidas por una relación de orden entre conjuntos.

Definición: Sea $A$ un conjunto y $R$ una relación en $A$ , se dice que $R$ es una “relación de orden” en $A$ (o un orden en $A$ ) si es reflexiva , anti simétrica y transitiva.

Una relación es reflexiva cuando $\forall x \in A \quad xRx$
Es anti simétrica cuando $\forall x,y \in A \quad xRy \land yRx \Rightarrow x=y$
Sea cual fuere $x , y \quad xRy \lor yRx$ , es decir no se excluye que dos elementos sean incomparables.

Un ejemplo evidente de conjunto provisto por tal estructura es el conjunto de los números enteros (o el de los reales), reemplazando el símbolo $R$ por $latex \l

Definición:

Se llama conjunto de orden a un par $(A,R)$ , donde $A$ es un conjunto y $R$ una relación de orden en $A$ . Al conjunto ordenado $(A,R)$ se los denomina conjunto $A$ ordenado por $R$ . Al conjunto $A$ se los llama conjunto subyacente del conjunto ordenado $(A,R)$ . También se los denomina conjunto parcialmente ordenado.

Se suele utilizar los símbolos $\leq , \geq$ para definir una relación de orden, donde dependiendo de como donde se aplica definen:

$\leq$ $x$ es anterior que $y$ o $x$ es inferior a $y$ , o $x$ sigue a $y$ .

$\geq$ $x$ es posterior a $x$ , $x$ es superior a $y$ , $y$ es predecesor de $x$ .

Propiedades:

$\forall x \in A \quad x \leq x$
$x \leq y$ y $y \leq z \Rightarrow x \leq z$

Ejemplos:

1- $(\mathbb{N}, \leq), (\mathbb{R}, \leq) , (\mathbb{Z}, \leq)$ son relaciones de orden.

2- Sea $\mathbb{E}$ un conjunto $\mathcal{P}(E)$ definida como $A \leq B \iff A \subset B$ es una relación de orden:

a) $\forall A \in \mathcal{P}(E) A \subseteq A$

b) Si $A \subset B$ y $B \subset A \to A = B$

c) Si $A \subset B$ y $B \subset C \to A \subset C$

3- Sea $x \in \mathbb{N}$ definimos la relación $x , y \in \mathbb{N} \to x | y$ ¿es de orden?. Donde $x| y$ es ” $x$ divide a $y$ “.

a) $\forall x \in \mathbb{N} x|y \to$ Reflexiva.

b) $\forall x,y \in \mathbb{N} \quad x|y \land y|x \to x=y \to$ Antisimétrica

c) $\forall x,y,z \in \mathbb{N} \quad x|y \land y|z \to x|z \to$ Transitiva

Conjunto totalmente ordenado

En una relación de orden puede suceder que $\forall x,y \in A \quad x \not \leq y \land y \not \leq x$ .

Ejemplo: Sea $x,y \in \mathbb{N}$ con $R = x|y$ , si $x = 2$ e $y=3 \Rightarrow x \not \leq y \land y \not \leq x$ .

Definición:

Se dice que una relación de orden $(A,\leq)$ es de orden total o que está totalmente ordenado por la relación $\leq$ si $\forall x,y \in A$ se cumple que $x \leq y$ o $b \leq a$ .

Ejemplo: la relación $\leq$ usual entre números naturales es una relación de orden total.

Orden total equivale a orden lineal

Un subconjunto ordenado de $(A,\leq)$ se llama subconjunto totalmente ordenado de $A$ o cadena de $A$

Elementos maximales y minimales

Definición: Sea $(A, \leq)$ un conjunto ordenado , un elemento de $a \in A$ se llama maximal de $A$ si para todo $x \in A \quad x \leq a$ . Si $a \geq a \to x = a$ . Analogamente , un minimal de $A$ es aquel que para todo $x \in A \quad x \geq a$ si $x \leq a \to x=a$

“Un conjunto ordenado de $(A,\leq)$ puede tener elementos maximales o minimales pero si los tienen son únicos”

Ejemplos:

Sea $E$ un conjunto y $(\mathcal{P}(E),\subset)$ el conjunto de partes ordenados por inclusión. Entonces $\emptyset$ es el minimal y $E$ el maximal. En el conjunto de partes no vacías de $E$ los elementos unitarios también son minimales (cuando son ordenados por inclusión).

Este ejemplo es muy interesante porque es anti intuitivo. Sea $(\mathbb{N},\leq)$ el conjunto ordenado por la relación $x \leq y \iff x|y$ el minimal es 1 porque si $x \not \leq 1 \to x=1$ y el maximal es 0 porque si $0|x \to x = 0$

Cotas superiores e inferiores:

Definición: Sea $(A,\leq)$ un conjunto ordenado y $x \subset A$ , un elemento $k \in A$ es una cota superior de $X$ si para todo $x \in X$ se tiene que $x \leq k$ y es cota inferior de $X$ si para todo $x \in X \quad x \geq k$ .

El elemento $k$ es cota inferior (superior) del subconjunto ordenado $(X,\leq)$ de $(A,\leq)$ . Si el conjunto de cotas superiores no es vacío se dice que $X$ está acotado superiormente (inferiormente). Si $X$ está acotado superior e inferiormente se dice que $X$ es un conjunto acotado.

Ejemplos:

Sea $(\mathbb{N},\leq)$ está acotado inferiormente por el 0 pero no tiene cota superior.

El intervalo cerrado $[a,b]$ tienen cota inferior $a$ y cota superior $b$ , por lo tanto es un conjunto acotado.

Sea $E$ un conjunto y $(\mathcal{P}(E),\leq)$ un conjunto de partes ordenado por inclusión , tiene cota inferior ( $\bigcap_{i \in I} E_i$ ) y cota superior ( $\bigcup_{i \in I} E_i$ )

Conjunto bien ordenado:

Sea $(A,\leq)$ un conjunto ordenado. Si $\exists a \in A / \forall x \in A a \leq x$ , dicho elemento es el único que goza de tal propiedad, pues si $\forall x \in A x \leq a' \to a'=a$

Definición: Sea $(A,\leq)$ un conjunto ordenado se dice que el elemento $a \in A$ es el primer elemento de $(A,\leq)$ o el menor. Si para todo $x \in A$ se verifica $a \leq x x \leq a$ .

Definición: Se dice que un conjunto ordenado $(A,\leq)$ está bien ordenado de $(A,\leq)$ si todo subconjunto no vacío tiene primer elemento. Se dice que la relación de orden es un buen orden en $A$ o que bien ordena a $A$ .

Ejemplos:

1- $\mathbb{N}$ está bien ordenado con el orden usual.

2- $\mathbb{Q}$ con el orden usual no está bien ordenado. En efecto en todo intervalo abierto racional $\{ x: x \in Q , \frac{a}{b} < x < \frac{c}{d} \}$ con $\frac{a}{b} \not = \frac{c}{d}$ carece de primer elemento , pues $\forall \frac{p}{q} \in (\frac{a}{b},\frac{c}{d})$ se verifica que $\frac{a}{b} < \frac{a+p}{b+q} < \frac{c}{d}$ con $p,q \in \mathbb{N}$

Un conjunto bien ordenado está totalmente ordenado.

Bibliografía:

“Las grandes corrientes del pensamiento matemático” – Francois Le Lionnais
“Introducción a la teoría de conjuntos ” – Lia Oubiña

Teoría de conjuntos 7 – Relación de orden

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