Teoría de conjuntos 8 – Cardinales y ordinales.

Si tenemos un conjunto finito , ¿cómo haríamos para contar la cantidad de elementos que tiene el conjunto?

Una forma sería contar uno por uno los elementos hasta completar la totalidad de los mismos. La otra forma sería , dado un conjunto que sabemos la cantidad de elemento que tiene relacionar el primer elemento de un conjunto con el primero del otros, el segundo con el segundo, hasta el n-esimo.

Por ejemplo si tenemos una sala de teatro donde se venden entradas sin numerar, y no sabemos la cantidad de butacas disponibles, cada espectador que llega se sienta en alguna silla libre, el el momento que se ocupe la última silla sabremos que la sala está llena.

De esa forma sabremos que la cantidad de espectadores es igual a la cantidad de butacas.

Definiendo como A al conjunto de las butacas y B a las de los espectadores existirá una relación uno a uno entre cada elemento de A con los de B y de B con los de A. Es decir tendremos una relación biunívoca entre A y B. Cuando ocurre esa relación se dice que los conjuntos A y B con coordinables o tienen una relación de coordinabilidad. Es símbolos se expresa como A \sim B.

Esta relación divide a los conjuntos en clases que son coordinables entre si. Esto permite definir una abstracción , el número cardinal.

Se puede demostrar que la relación de coordinabilidad es una relación de equivalencia.

Sea a \quad y b dos números cardinales , se dice que b sigue a a ( a \leq b \lor b \leq a ) si siendo A y B dos conjuntos con cardinalidades a y b respectivamente , se dice que A es coordinable con una parte de B

Esta definición no depende de los representantes elegidos en las clases a y b.

Dos conjuntos tiene el mismo cardinal si pertenecen a la misma clase, o sea son coordinables entre si.

El cardinal del conjunto A se denota como |A|

Si el conjunto es finito y ordenado establecemos implícitamente una ordenación entre sus elementos, y el último n se llama ordinal del conjunto.

Cualquiera sea la forma de contar los elementos de un conjunto finito llegaremos al mismo ordinal n (teorema de la invariancia del ordinal de un conjunto finito).

Construcción de ordinales

En el post sobre Relacion de orden se analizó detalles de los conjuntos ordenados y bien ordenados, en este apartado se describirá más detalles sobre los conjuntos bien ordenados.

Conjunto bien ordenado:

Sea (A,\leq) un conjunto ordenado. Si \exists a \in A / \forall x \in A a \leq x , dicho elemento es el único que goza de tal propiedad, pues si \forall x \in A x \leq a'  \to a'=a

Definición: Sea (A,\leq) un conjunto ordenado se dice que el elemento a \in A es el primer elemento de (A,\leq) o el menor. Si para todo x \in A se verifica a \leq x  x \leq a.

Principio del buen orden: Se dice que un conjunto ordenado (A,\leq) está bien ordenado de (A,\leq) si todo subconjunto no vacío tiene primer elemento. Se dice que la relación de orden es un buen orden en A o que bien ordena a A . En el conjunto de los números naturales \mathbb{N} ese elemento es el 1.

Principio de inducción: Sea (A,\leq ) un conjunto bien ordenado, y sea B \subset A tal que:

  • El primer elemento de A es un elemento de B.
  • Para todo x \in A \quad  \forall y ( y < x \to y \in B) \Rightarrow x \in B \Rightarrow B = A

El principio del buen orden implica el principio de inducción y el principio de inducción implica el principio del buen orden

Demostración:
Supongamos que se verifica el principio de buena ordenación. Tomemos un subconjunto de los naturales no vacío, \displaystyle A\neq \varnothing , de modo que dicho subconjunto cumpla dos condiciones:

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