Principio de inducción completa

Principio de inducción completa:

Surge del principio de buena ordenación visto en Cardinales y Ordinales

Sea $P(n): \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ que depende de $ n > o \in \mathbb{N} $ queremos poder demostrar que $P(n)$ se cumple para todo n > 0.

1- Si la expresión $P(0)$ se verifica.

2- Si para todo $k \in \mathbb{N}$ se cumple $P(k-1)$ entonces se verifica $P(k)$

Ejemplo:

Sea $P(n)$ : la suman de los primero n números naturales, o sea $P(n) = \displaystyle\sum_{i=0}^n i = 1+2+3+4+5+ \cdot\ldots\cdot + n = \frac{n(n+1)}{2}$

1- $P(0) = \frac{0(0+1)}{2} = 0 \checkmark$

2- $P(k-1) = \frac{(k-1)(k-1+1)}{2}= \frac{k(k-1)}{2} = \displaystyle\sum_{i=0}^{k-1} i = 1+2+3+4+5+ \cdot\ldots\cdot + (k-1) = \frac{k(k-1)}{2}$ .

Sumando $k$ en ambos miembros obtenemos:

$1+2+3+4+5+ \cdot\ldots\cdot + (k-1) + k = \frac{k(k-1)}{2}+k = \frac{k(k-1)+2k}{2} = \frac{k ^ 2- k+2k}{2} = \frac{((k+ 2)- 1)k)}{2} = \frac{k(k+1)}{2} \checkmark$

Porque $\displaystyle\sum_{i=0}^n i = 1+2+3+4+5+ \cdot\ldots\cdot + n = \frac{n(n+1)}{2}$ ?

Sea $S1 = 1+2+3+ \cdot \ldots \cdot +(n-1)+n$ la suma de los primero n números naturales. Reordenamos la suma tal que $S2 = n+(n-1)+ \cdot \ldots \cdot +3+2+1$ . Al realizar la operación $S1+S2$ obtenemos:

$1+2+3+ \cdot \ldots \cdot +(n-1)+n \\ + \\ n+(n-1)+ \cdot \ldots \cdot 3+2+1 \\ \underbrace{ (n+1)+ (n+1)+ \cdot \ldots \cdot + (n+1) }_{\text{n veces}} \\ S1+S2 = 2 S = n(n+1) \Rightarrow S = \frac{n(n+1)}{2} \checkmark$

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