Principio de inducción completa

Principio de inducción completa:

Surge del principio de buena ordenación visto en Cardinales y Ordinales

Sea P(n): \mathbb{N} \to  \mathbb{N} que depende de $ n > o \in \mathbb{N} $ queremos poder demostrar que P(n) se cumple para todo n > 0.

1- Si la expresión P(0) se verifica.

2- Si para todo k \in \mathbb{N} se cumple P(k-1) entonces se verifica P(k)

Ejemplo:

Sea P(n) : la suman de los primero n números naturales, o sea P(n) =  \displaystyle\sum_{i=0}^n i = 1+2+3+4+5+ \cdot\ldots\cdot + n = \frac{n(n+1)}{2}

1- P(0) =  \frac{0(0+1)}{2} = 0 \checkmark

2- P(k-1) = \frac{(k-1)(k-1+1)}{2}= \frac{k(k-1)}{2} =  \displaystyle\sum_{i=0}^{k-1} i =   1+2+3+4+5+ \cdot\ldots\cdot + (k-1) =  \frac{k(k-1)}{2} .

Sumando k en ambos miembros obtenemos:

1+2+3+4+5+ \cdot\ldots\cdot + (k-1)  + k =  \frac{k(k-1)}{2}+k =  \frac{k(k-1)+2k}{2} =  \frac{k ^ 2- k+2k}{2} =   \frac{((k+ 2)- 1)k)}{2} = \frac{k(k+1)}{2}   \checkmark

Porque \displaystyle\sum_{i=0}^n i = 1+2+3+4+5+ \cdot\ldots\cdot + n = \frac{n(n+1)}{2} ?

Sea S1 = 1+2+3+ \cdot \ldots \cdot +(n-1)+n la suma de los primero n números naturales. Reordenamos la suma tal que S2 = n+(n-1)+ \cdot \ldots \cdot +3+2+1. Al realizar la operación S1+S2 obtenemos:

1+2+3+ \cdot \ldots \cdot +(n-1)+n \\ + \\ n+(n-1)+ \cdot \ldots \cdot 3+2+1 \\ \underbrace{ (n+1)+ (n+1)+ \cdot \ldots \cdot + (n+1) }_{\text{n veces}} \\ S1+S2 = 2 S = n(n+1) \Rightarrow S  = \frac{n(n+1)}{2}  \checkmark

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