Teoría de Conjuntos 9 – Conjuntos infinitos

Aspectos históricos:

El concepto de infinito estuvo en la mente de los matemáticos desde la época de los griegos. El gran filosofo griego Aristóteles (382 AC – 322 AC) consideraba al infinito potencial como potencial y actual

El infinito potencial es aquel utilizado para definir magnitudes o procesos que se puede extender tanto como se desee. En cambio el infinito actual se relaciona con magnitudes o procesos que su valor es infinito. A lo largo de este articulo iremos analizando las evolución del razonamiento matemático del concepto de infinito.

“No es posible que el infinito exista como un ser en acto o como sustancia o un principio. El infinito existe solo potencialmente , bien por adición o por división “

Aristóteles (384 AC – 322 AC) [Física III]

En la obra “Loe Elementos” de Euclides de Alejandria (300 AC) ya consideraba el concepto de infinito en potencia en uno de sus famosos postulados.

“Un segmento de recta se puede extender indefinidamente en una línea recta.”

Los Elementos (Libro I)
Segundo postulado de Euclides

Zenón de Elea (490 AC – 430 AC) hizo razonamiento respecto al movimiento que fueron precursores del concepto de infinitesimal , retomados por los matématicos Leibnitz y Newton casi 2000 años después.

Zenon asumía que no existe el movimiento , suponiendo un arquero como el de la figura en donde el blanco está a 1 estadio (los metros o yardas aún no se habian definido) de distancia. Si suponemos que una unidad de tiempo la flecha recorre la mitad del recorrido llegando a 1/2 estadio, en la segunda unidad recorre la mitad de lo que resta, o sea 1/2 + 1/4= 0,75 estadio, en el tercer periodo la mitad de lo que falta , o sea 0,75 + 0,125 = 1,825 estadios y asi sucesivamente, la flecha estaría muy cerca del blanco pero nunca lo alcanzaría.

Graficamente tenemos:

Usando la terminología actual la curva de la función entre la distancia recorrida por la flecha y el tiempo es asintótica a la recta que determina la distancia al blanco. Es decir la curva se acerca indefinidamente a la recta pero nunca la llega a tocar. Solo en el infinito…..

Esta lista de valores corresponde a una sucesión infinita.

Definición:

Una sucesión es una función f = \mathbb{N} \to \mathbb{R} representada como \{ a_n\} en donde para cada valor de a_n existe un valor de f(n) que es un número real.

En el ejemplo anterior se muestras lo primero 20 elementos de la sucesión \{ a_n\} cuyos valores para n entre 0 y 20 son los indicados en la tabla. La gráfica muestra los valores de la sucesión para esa lista de valores.

Ahora bien, si n \to \infty ¿cual será el valor de \{ a_n\} ?

Veremos varias opciones para obtener el resultado de esta sucesión para valores infinitos de n. A priori podemos conjeturar que la sucesión a pesar de tener infinitos valores tiende a un valor finito (tal como se muestra en la gráfica).

Cálculo gráfico del resultado de la sucesión para n tendiente a infinito:

De en:User:Jim.belk (original); Pbroks13 (talk) (redraw) – en:Image:GeometricSquares.png, Dominio público, Enlace

Es decir el conjunto formado por la sucesión \{ a_n\} puede crecer en forma indefinida, es decir tiene infinita cantidad de elementos. Este tipo de conjuntos se dice que son conjuntos infinitos.

La supuesta paradoja, es que una sucesión infinita como en el ejemplo puede converger a un valor finito. En Análisis se dice que la sucesión \{ a_n\} tiene limite finito y para este caso vale 1.

Definición: Un conjunto infinito es aquel que no es finito, o sea que no tiene cardinalidad finita.

Como vimos en Cardinales y Ordinales la cardinalidad de un conjunto finito se puede obtener de dos manera, contando elemento por elemento (no importa que tan grande sea el conjunto en algún momento se termina de contar) , o generando una relación biyectiva con otro conjunto del cual ya conocemos su cardinalidad.

En Relación de Orden vimos que si el conjunto está ordenado y es finito el máximo elemento de conjunto coincide con el cardinal del mismo.

Ahora bien si el conjunto es infinito, ¿es posible determinar su cardinalidad usando métodos similares que en los conjuntos finitos?. Veamos

Contando: evidentemente esta forma no es posible porque para todo n siempre habrá un n+1 que forma parte del conjunto.

Generando una aplicación biyectiva: Veamos está opcion

Por el principio del inducción visto en Principio de inducción completa sabemos que el conjunto de los números naturales \mathbb{N} es infinito. Si logramos que un conjunto arbitrario X tenga una relación biyectiva con el conjunto \mathbb{N} podemos afirmar que X tiene la misma cardinalidad de \mathbb{N}.

Sea P = \{ x,n \in \mathbb{N} | x = 2n  \} \to conjunto de números pares

Evidentemente este conjunto tiene infinita cantidad de elementos (de ahora es mas, decimos que es infinito).

Si tomamos un subconjunto de P, llamado P_n tal que P_n = \{ x,n \in \mathbb{N} | x = 2n \land n  < M  \}  donde M es un numero finito, el conjunto P_n evidentemente será finito de cardinalidad M/2.

Si además tenemos sel conjunto N = \{ x,n \in \mathbb{N} | x = n \land n  < M   \}, o sea este conjunto está formado por todo los números naturales menores que M evidentemente la cardinalidad de N será M.

Por lo tanto |N| > |P_n|. Por ejemplo, para N = 10.

N = \{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 \} y P_n = \{2,4,6,8,10 \}

Entonces, podemos afirmar que el conjunto de todos los números naturales tiene mayor cardinalidad que el conjuntos de todos los números pares, a priori parecería que si, pero como veremos en los conjuntos infinitos la intuición mucha veces nos falla.

Efectivamente podemos generar una aplicación biyectiva entre el conjunto de los números naturales \mathbb{N} con la de los números pares \mathbb{P} de la siguiente forma:

\mathbb{N} \to \mathbb{P} \\ 1 \to 2 \\ 2 \to 4 \\ 3 \to 6 \\ \dots \\ n \to 2n \\ \dots

Por lo tanto la cardinalidad del conjunto de todos los números pares es igual a la de todos los números naturales.

Definición: Sea los conjuntos X, Y, se dice que son conjuntos equipotentes (coordinables o equivalentes) si existe una aplicación biunívoca entre ellos.

Por ejemplo, los conjuntos del ejemplo anterior son equipotentes. Simbolicamente los representamos como X \sim Y.

Teorema: Un conjunto finito no puede ser equipotente con un subconjunto propio.

Informalmente decimos que todo subconjunto de un conjunto finito tiene una cardinalidad menor que el conjunto en cuestión. O sea, satisface la proposicion Euclideana que dice que el todo es mayor que las partes.

Definición: Un conjunto es infinito existe una aplicación biunivoca con un subconjunto propio.

Por ejemplo hemos demostrado que un subconjunto del conjunto de los números naturales es equipotente con este.

El alef:

El matemático alemán George Cantor (1845-1918) es considerado el padre de la teoría de conjuntos. Definió como \aleph_0 (alef 0) a la cardinalidad del conjunto de los números naturales, por lo tanto todo conjunto equipotente con \mathbb{N} tiene su misma cardinalidad.

Definición: Todo conjunto equipotente con el conjunto de los números naturales se dice que es un conjunto infinito numerable.

Por ejemplo los siguientes conjuntos son numerables:

A = \{x,n \in \mathbb{N}: x = 2n \}

A = \{x,n \in \mathbb{N}:  x = 2n+1 \}

A = \{x,n \in \mathbb{N}:  x = n^2 \}

El conjunto de los números racionales \mathbb{Q} está definido como \mathbb{Q} =  \{ p,q \in \mathbb{N} | p/q \} .

Del analisis de los números racionales surge que dado un intervalo (a,b) existe infinitos racionales en ese intervalo. En efecto \forall p,q \in \mathbb{Q} \exists r= \frac{p+q}{2}. Es decir entre dos naturales existe infinitos racionales.

¿Es \mathbb{Q} numerable?

A pesar de que entre dos naturales existen infinitos racionales se puede demostrar que existe una aplicación biyectiva entre el conjunto de los racionales y los naturales, o sea \mathbb{Q} \sim \mathbb{N}

Demostracion:

¿Es \mathbb{R} numerable?

Para demostrar que los números reales son numerables debemos poder obtener una relación biyectiva con los números naturales.

Sea el segmento [0,1] \in \mathbb{R} supondremos que el conjunto de cada uno de los números reales contenido en ese segmento se pueden asociar con uno y solo un número entero. De esa forma tendríamos una lista infinita de números reales pertenecientes a [0,1]. Si esa lista de números reales son todos los reales posibles en [0,1] entonces serían numerables.

Ahora bien, si elegimos el primer elemento luego de la coma del primero real, el segundo del segundo, el tercero del terceros… y los remplazamos según por otro dígito obtendremos otro números real no contenido en la lista original, osea es falso que se puede generar una relación biunívoca entre el conjunto de los números reales y el de los enteros, por lo tanto $\mathbb{R}$ es infinito no numerable .

Argumento diagonal para demostrar que $\mathbb{R}$ es no numerable.

Por lo tanto cuando se trata de conjunto infinitos hay respuestas que van contra la intuición. La afirmación de más arriba indica que hay infinitos mas grandes que otros.

Por lo tanto |\mathbb{N} < |\mathbb{R} |

Teorema: El conjunto de los números reales en [0,1] es isomorfo con toda la recta real.

Es decir existe una relación biyectiva [0,1]  \to \mathbb{R}, es decir son conjuntos equipotentes.

Veamos la aplicación de este teorema con algunos ejemplos.

Sean C_1 y C_2 dos círculos concéntricos de radio r_1 y r_2 respectivamente y con r1  < r2, la longitud de la circunferencia de C_2 es claramente mayor que la de C_1 y a priori parecería que C_2 tiene mas puntos que C_1 . Gráficamente se puede ver que se puede generar una relación biyectiva entre todos los puntos de C_1 con los puntos de C_2 .

En efecto, para todo c \in C_1 \exists b \in C_2 | c \iff b por lo tanto si CC_1 y CC_2 son respectivamente los conjuntos de puntos de C_1 y C_2 tenemos que CC_1 \sim   CC_2 $ .

De esta forma podemos decir que el conjunto de puntos de C_1 es equipotente con el conjunto de puntos de C_2 .

En la siguiente figura se muestra otro ejemplo entre coordinación de puntos de segmentos de recta real de diferentes longitud.

Si tomamos un punto P exterior a los segmentos CD y AB y trazamos una proyección desde P pasando por el segmento CD siempre obtendremos el correspondiente punto en AB que este alineado con un punto de CD y el punto P.

De nuevo, cuando hablamos de infinito la intuición nos engaña.

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