Para que un sistema lógico sea consistente se requiere que se base a una seria de proposiciones primeras que se aceptan sin demostración.
Por ejemplo, para el caso de la teoría de conjuntos existen varias teorías axiomáticas, una de ellas , es la Teoria Axiomática ZF.
En varias disciplinas puede darse diversos proposiciones equivalentes, en una son axiomas y en otros teoremas.
Condiciones que debe cumplir un sistema axiomático
- El sistema de axiomas de toda teoría matemática debe mostrar la condición que no tenga contradicciones. En ese caso el sistema axiomático es compatible.
- Debe se independiente, o sea ninguno de los axiomas puede ser deducido de los demás.
- Toda proposición que surja de la teoría axiomática en estudio debe ser factible de ser demostrable o refutable. No puede formarse otro nuevo axioma de los ya establecidos (minimalidad del conjunto axiomático).
- Un sistema de axiomas se dice que es categórico si para cada par de interpretaciones concretas existe un isomorfismo que las relacione.
- ese conjunto de interpretaciones concretas forman la Matemática Aplicada, a diferencia de la Matemática Pura que trabaja con abstracciones.
Bibliografía: Análisis Matemático , Tomo I, Jorge Rey Pastor, Ed Kapeluz , 1953.
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