Los números algebraicos

Se llaman números algebraicos a toda raíz de una ecuación con coeficientes enteros de la forma a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3 +\dots \dots +a_nx^n = 0 .

Si hacemos coincidir a cada ecuación la sucesión (a_0,a_1,a_2,a_3, \dots \dots a_n) resulta que el número cardinal de este conjunto es:

|\mathbb{Z}|^{(0,n)} = \aleph_0^{n+1} = \aleph_0

Ejemplos:

  • Todo los números enteros son también números algebraicos , pues son raíces de las ecuaciones del tipo x + a = b con a,b \in \mathbb{N}
  • Los números racionales , pues son raíces de ecuaciones del tipo ax+b=0 con a, b \in \mathbb{N}.
Teorema: El conjunto de los números algebraicos \mathbb{A} es infinito numerable.

Demostración:

Por el teorema fundamental del álgebra una ecuación de grado n no puede contener más de n raíces diferentes, entonces el conjunto de los números algebraicos obtenidos de ecuaciones de grado n es menor o igual que n veces la potencia de los enteros \aleph_0.

|\mathbb{A}| = n\aleph_0 = \aleph_0

Y como la familia de conjuntos numerables es numerable el conjunto de números algebraicos también es numerable.

Todo número natural es algebraico , por lo tanto el conjunto de números algebraicos es infinito numerable \Box

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