Los números racionales

Recordemos la definición de números racionales:

Sea a,b \in \mathbb{N} el conjunto de los números racionales $\mathbb{Q}$ se define como \mathbb{Q} = \{ a,b \in \mathbb{N}:  \frac{a}{b}  \land   \not = 0  \}.

De la ecuación del tipo bx = a \quad a,b \in \mathbb{N} obtenemos como resultado el par (a,b)

Ejemplo:

(a,b) = (6,2) \to x = 3 , (a,b) = (18,-3) \to x = -6

Estas soluciones forman clases de equivalencias que pueden ser reductibles formadas por cada par (a.b).

Ejemplos:

[(2,1)] = \{ (2,1),(4,2),(-8,-4) \dots (250,125) \dots\}

[(9,-3)] = \{ (9,-3),(-18,6),(27,-9) \dots (900,-300) \dots\}

Sean los pares (a,b) y (c.d) ¿como sabemos que representan la misma solución?

bs = a \to d(bs) = da \to bds = ad y ds = c \to b(ds) = bc \to bds = bc

Por lo tanto si: ad = bc \quad (a,b) \land (c,d) son parte de la misma solución.

Se puede demostrar que (a,b) \sim (c,d) , o sea son parte de la misma clase de equivalencia.

Cuando los pares (a,b) \quad y \quad (c,d) tiene solución en \mathbb{Z} existen r,s \in \mathbb{Z} | br=a \land ds=c los llamamos pares equivalentes si ad = bc .

Por lo tanto (a,b) se pueden expresar como \frac{a}{b} y genera la siguiente clase de equivalencia:

\frac{a}{b}  \sim  \{ (a,b) |  a,b \in \mathbb{Z}, b \not = 0 y para todo (c,d)  ,  d \not  = 0\} es ad = bc

Ejemplos:

\frac{1}{3} \sim  \{  (3,1),(6,2),(12,3  \dots)   \}  \in \mathbb{Z}

1. \frac{3}{1} \sim  \{  (3,1),(6,2),(12,3 ) \dots   \}  \in \mathbb{Z}

2. \frac{2}{3} \sim  \{  (2,3),(4,6),(8,12)  \dots   \}  \in \mathbb{Z}

3. \frac{-1}{5} \sim  \{  (-1,5),(1,-5),(10,-50)  \dots   \}  \in \mathbb{Z}

En los ejemplos 2 y 3 vemos que \frac{a}{b} \not \in \mathbb{Z}, o sea es una extensión del campo \mathbb{Z} que forman el campoo de los números racionales \mathbb{Q}

Demostraremos que \mathbb{Q} es una extensión de \mathbb{Z} y por lo tanto es un cuerpo.

Sea r una solución en \mathbb{Z} de bx = a y s es solución en \mathbb{Z} de

\\ \\  dx = c \\ (bd)x = ad+bc  \\ bx = a \\ x = \frac{a}{b}=r \\ dx = c \\  x = \frac{c}{d} = s \\ r+s =  \frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad+bc}{bd} = x \\ (bd)x = ad+bc

Definimos:

‘+’ como \frac{a}{b} +  \frac{c}{d}  =  \frac{ad+bc}{bd}

‘.’ como \frac{a}{b} . \frac{c}{d} =  \frac{a.c}{b.d}

Los resultados de las operaciones ‘+’ y ‘.’ son independientes de los elementos de la clase de equivalencia seleccionado.

Isomorfismo entre \mathbb{Z} \quad y  \mathbb{Q}

Si (a,b) = (a,1) \to (a,b) \sim a \in \mathbb{Z}

Teorema:

Los números racionales \mathbb{Q} = \{ a/b, a,b \in \mathbb{Z}  \land b \not = 0\} forman un cuerpo con las operaciones de ‘+’ y ‘.’.

Demostración:

Cerradura :

Sabemos que \frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad+bc}{bd}  \land bd \not = 0

ad, cd, bd \in \mathbb{Z} y por lo tanto ad+cd \in \mathbb{Z}  \land bd \in  \mathbb{Z}

Por lo tanto la suma \frac{a}{b} + \frac{c}{d}  esta en \mathbb{Q} definido por la clase de equivalencia (ad+cb,bd)

Asociatividad:

(\frac{a}{b} + \frac{c}{d}) + \frac{e}{f} =  \frac{ad+cb}{bd} +  \frac{e}{f} = \  \frac{f(ad+cb)+bde}{bdf} =  \frac{fad+fcb+bde}{bdf} \in \mathbb{Q}

Inverso aditivo:

Para que exista inverso aditivo debe existir un c \in \mathbb{Q} tal que \frac{a}{b} + c = 0.

Entonces c = -\frac{a}{b} \in \mathbb{Q}

Inverso multiplicativo

Para que exista un inverso multiplicativo debe existir un e \in \mathbb{Q} tal que e  \frac{a}{b}  = 1

Entonces e = \frac{b}{a} \land a \not  = 0

Distributiva del ‘.’ respecto al ‘+’

r =  \frac{a}{b}( \frac{c}{d} + \frac{e}{f} )  = \\ \frac{ac}{bd} +  \frac{ae}{bf} = \\  \frac{fac+dae}{bdf} \in \mathbb{Q}

Isomorfismos:

Sea el subconjuntos \mathbb{E}  \in  \mathbb{Q}  pueden ser escritos con denominador 1. Entonces son esencialmente iguales a \mathbb{Z}

Teorema:

El cuerpo \mathbb{Q} contiene un anillo \mathbb{ E } isomorfo con $ (\mathbb{Z},+,.) $

+ : \frac{a}{1}+\frac{b}{1} =  \frac{1a+1b}{1} =  \frac{a+b}{1} = a+b   que corresponde al ‘+’ en \mathbb{Z}

. : \frac{ab}{1.1} = ab equivalente al ‘.’ en \mathbb{Z}

Por lo tanto \mathbb{E} \cong \mathbb{Z} \quad \Box

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