Los números racionales

Recordemos la definición de números racionales:

Sea $a,b \in \mathbb{N}$ el conjunto de los números racionales $layex \mathbb{Q}$ se define como $\mathbb{Q} = \{ a,b \in \mathbb{N}: \frac{a}{b} \land b\not = 0 \}$ .

De la ecuación del tipo $bx = a \quad a,b \in \mathbb{N}$ obtenemos como resultado el par $(a,b)$

Ejemplo:

$(a,b) = (6,2) \to x = 3$ , $(a,b) = (18,-3) \to x = -6$

Estas soluciones forman clases de equivalencias que pueden ser reductibles formadas por cada par (a.b).

Ejemplos:

$[(2,1)] = \{ (2,1),(4,2),(-8,-4) \dots (250,125) \dots\}$

$[(9,-3)] = \{ (9,-3),(-18,6),(27,-9) \dots (900,-300) \dots\}$

Sean los pares (a,b) y (c.d) ¿como sabemos que representan la misma solución?

$bs = a \to d(bs) = da \to bds = ad$ y $ds = c \to b(ds) = bc \to bds = bc$

Por lo tanto si: $ad = bc \quad (a,b) \land (c,d)$ son parte de la misma solución.

Se puede demostrar que $(a,b) \sim (c,d)$ , o sea son parte de la misma clase de equivalencia.

Cuando los pares $(a,b) \quad y \quad (c,d)$ tiene solución en $\mathbb{Z}$ existen $r,s \in \mathbb{Z} \quad| br=a \land ds=c$ los llamamos pares equivalentes si $ad = bc$ .

Por lo tanto $(a,b)$ se pueden expresar como $\frac{a}{b}$ y genera la siguiente clase de equivalencia:

$\frac{a}{b} \sim \{ (a,b) | a,b \in \mathbb{Z}, b \not = 0$ y para todo $(c,d) , d \not = 0\}$ es $ad = bc$

Ejemplos:

$\frac{1}{3} \sim \{ (3,1),(6,2),(12,3 \dots) \} \in \mathbb{Z}$

1. $\frac{3}{1} \sim \{ (3,1),(6,2),(12,3 ) \dots \} \in \mathbb{Z}$

2. $\frac{2}{3} \sim \{ (2,3),(4,6),(8,12) \dots \} \in \mathbb{Z}$

3. $\frac{-1}{5} \sim \{ (-1,5),(1,-5),(10,-50) \dots \} \in \mathbb{Z}$

En los ejemplos 2 y 3 vemos que $\frac{a}{b} \not \in \mathbb{Z}$ , o sea es una extensión del campo $\mathbb{Z}$ que forman el campoo de los números racionales $\mathbb{Q}$

Demostraremos que $\mathbb{Q}$ es una extensión de $\mathbb{Z}$ y por lo tanto es un cuerpo.

Sea r una solución en $\mathbb{Z}$ de $bx = a$ y s es solución en $\mathbb{Z}$ de

$\\ \\ dx = c \\ (bd)x = ad+bc \\ bx = a \\ x = \frac{a}{b}=r \\ dx = c \\ x = \frac{c}{d} = s \\ r+s = \frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad+bc}{bd} = x \\ (bd)x = ad+bc$