Los números reales I

En esta serie de artículos se dará una introducción a los números reales, empezando por el dilema de la no racionalidad de $\sqrt2$ ya descubierto por los pitagóricos hace más de 2000 años, pasando por la expresión geométrica y decimal , postulados , desarrollo en serie de potencias para aproximar números reales, definiciones más formales como las cortaduras de Dedekit y las convergencias de Cauchy.

La fuente de este articulo surge principalmente del libro Algebra Moderna de Birkhoff , ed en español de 1954.

Dilema de Pitágoras:

Lo pitagóricos ya sabían que la relación entre los catetos a,b de un triángulo rectángulo y su hipotenusa h satisface la ecuación

$h^2 = a ^ 2 + b ^ 2$

Que es la expresión del famosisimo teorema de Pitágoras.

Si a = b = 1 tenemos que $h^2 = 1+1 = 2 \to h = \sqrt2$

Se puede demostrar que para esta caso h no se puede representar como la razón de dos números enteros, o sea no existen $a,b \in \mathbb{N} | h = \frac{a}{b}$ , o sea h no es un número racional.

De allí surge la definición de los números irracionales, o sea número que no se pueden representar como cocientes de enteros.

A continuación una de las demostraciones de la irracionalidad de $\sqrt2$

Supongamos que $(\frac{a}{b}) = \sqrt2$ es una fracción irreductible y $(\frac{a}{b})^2 = 2 \to a^2 = 2b^2$ y descomponiendo a y b en factores primos resulta

$a = p1p2 \dots pn$ como producto de n primos y

$b = q1q2 \dots qm$ como producto de m primos.

En la descomposición de factores primos de $a^2$ tenemos n parejas de primos y en la de $b^2$ m parejas, pero tenemos que $a^2 = 2b^2$ y $2b^2$ contiene un 2 desemparejado, por lo que llegamos a una contradicción, por lo tanto la afirmación de que $(\frac{a}{b}) = \sqrt2$ con a y b coprimos es falsa, y por lo tanto $\sqrt2$ no es un número racional.

Teorema 1:

Sea $p(x) = x^n + a_{1} x^{n-1}+a_{2}x^{n-2} + \dots + a_{n}$ con su primer coeficiente igual a 1 y $a_{n}$ enteros. Si la ecuación $p(x) = 0$ tiene raices racionales, estas son enteras.

Demostración:

Supongamos que $p(x) = 0$ para alguna fracción $x = \frac{a}{b}$ dividiendo a y b por su mcd puede expresarse x como un cociente $x = \frac{r}{l}$ de dos enteros r y l coprimos. Sustituyendo en $p(x)$ y quitando denominadores

$0 = l^2p(\frac{l}{r}) = r^n + a_{1}r ^n-1 l + a_{2} r^n-2 l^2 + \dots + a_{n} l^n$

luego $r^n = -a_{1}r^{n-1} l - a_{2} r^{n-2} l^2 - \dots - a_{n} l^n \to l | r^n$ .

Esto exige que cualquier factor primo de l divida a $r^n$ y por lo tanto a r. Pero r y l no tiene divisores comunes, y por lo tanto $r = \pm 1$ y la fracción dada $x = \frac{r}{\pm 1} = \pm r$ es un número entero $\Box$

Aplicacion:

Usaremos el teorema anterior para determinar la irracionalidad de $\sqrt28$

Si $|x| \geq 6 \to x^2 -28 > 0$ si $|x| \leq 5 \to x^2 -28 < 0$ y luego ningún entero puede ser solución de la ecuación $x^2 -28 = 0$ y por lo tanto $\sqrt28$ no puede ser racional.

De este teorema surge uno más general en el que se puede demostrar que para todo número entero no cuadrado perfecto (es decir que su raíz cuadrada es otro número natural) su raiz cuadrada es irracional, o sea pertenece al conjunto $\mathbb{I}$ .

En símbolos:

$\forall x \in \mathbb{N} \land ( \sqrt x \neq a \land a \in \mathbb{N}), \sqrt x \in \mathbb{I}$ .

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