Los números triangulares

Los números triangulares fueron ampliamente estudiados por el genio matemático Alemán Federico Gauss

Gauss era reacio a publicar sus trabajos hasta esta seguro de su calidad. En una libreta de el encontraron medio escondido la fórmula que determina que todo número enteros es formado por la suma de como máximo tres números triangulares.
Qué son los números triangulares? Son aquellos que como muestra la figura se pueden representar con puntos que formen un triangulo equilatero.

Por ejemplo el 7=3+3+1 usa tres números triangulares que son el 3, el 3 de nuevo (se pueden repetir) yel 1.

En cambio en 24=15+6+3 o sea usa otros tres triangulares.

Otro ejemplo: 17 = 10 + 6 +1 etc.

En general la ley de formación de la serie formado por los números triangulares es:

Para

n=1, N=1
n=2 N = 3
n=3 N = 6 etc

Vamos a usar este tipo de números en aplicaciones práctica

Problema: Obtener la suma de los primeros 100 números enteros, o sea:

S = 1+2+3+4+———+100

Sumando el primero con el último , el segundo con el anteultimo etc tenemos

1 + 100 = 101
2 + 99 = 101
3 + 98 = 101
.
.
.
50 + 51 = 101

Es decir las sumas siempre dan 101,por lo tanto la suma buscada es

S = 50 * 101 = 5050

Y por lo tanto tenemos una forma de resolver el problema en forma mucho más simple que haciendo toda la suma.

Esta deducción se atrubuye a Federic Gauss que la dedujo en segundos ante el pedido de si maestro. Tenia solo10 años.
Por el gran aporte que hizo a las mátematicas se lo denomina justamente “El principe de las matemáticas”

Volviendo al problema, en general, si queremos sumar los primeros n números enteros tenemos:

Sn = 1+2+3+——-(n-2)+(n-1)+n

S1 = 1 + n
S2 = 1 + (n-1)
S2 = 2 + (n-2)
.
,
,

Entonces

Entonces, ¿cual es la relación de esta sumatoria con lo números triangulares?

Pues,muy fácil, si acomodamos dos triángulos que forman un número triangular de manera de generar un rectángulo, tendremos uno de n(n+1) puntos.
Para calcular el total de punto de ese rectángulo hacemos n(n+1), pero como lo que nos interesa es calcular la cantidad de puntos del triangulo lo dividimos por 2 y tenemos:

Cantidad de puntos del triangulo = que es la fórmula que permite calcular la suma de los número de 1 a N.