Introducción a la teoría de grupos I

Durante varios artículos de este sitio he presentado diferentes características de los conjuntos. Teniendo en base a la teoría de conjuntos existen varias estructuras algebraicas de gran interés en las matemáticas modernas, tales como los grupos, anillos, espacios vectoriales, módulos y sus variantes.

En este articulo voy a comentar una breve introducción a la teoría de grupos, teoría que tiene una relativa juventud y fue sistematizada por grandes matemáticos del siglo XIX y principios del siglo XX, entre ellos Galois, Dedekid, Kummer, Hilbert, Emily Noether , Klein, Burnside etc.

¿Que son los grupos?

Desde el punto de vista del algebra abstracta los grupos son estructuras algebráicas formadas por un conjunto G no vacío y una operación binaria aplicada a todos los elementos de G, que denotaremos como * , que satisface las siguients condiciones:

1- Existe una ley de composición * que a todo par x, y perteneciente a G hacen corresponder a otros elemento de G.

Simbólicamente:

\forall x,y \in G, z = x*y \in G

Esta propiedad se la suelde denominar como propiedad de cerradura en G.

2- Ley asociativa:

(x*y)*z = z*(y*z) , \forall x,y,z \in G

3- Existe un elemento unidad denotado por e (o elemento neutro) tal que:

e*x = x*e = x, \forall x \in G

4- Todo elemento tiene un inverso o simétrico tal que:

\forall x \exists y | x*y = e

Nota: A y se lo suelde denotar como x_-1

Estas expresiones aplican cuando el operador * tiene una expresión multiplicativa, pero también puede tener una expresión aditiva, en ese caso las expresion 1 a 4 son:

1- \forall x,y \in G, z = x + y \in G

2- (x + y) + z = z + (y + z) , \forall x,y,z \in G

3- e + x = x + e = x, \forall x \in G

Nota: Para expresión multiplicativa el elemento unidad de x se denomina neutro y se denota con el símbolo 1. En cambio si la expresión elegida es la aditiva el elemento unidad de x se denomina opuesto y se denota con el símbolo 0.

4- \forall x \exists y | x + y = e

El uso de la expresión multiplicativa o aditiva depende del grupo en cuestión.

Ejemplos:

1- El conjunto \mathbb{R}^+-{0} de los números reales excluido el cero forman un grupo respecto al a multiplicación común. En cambio \mathbb{R} no es un grupo para la multiplicación común porque el elemento 0 no tiene inverso.

2- El conjunto \mathbb{R} de todos los números reales incluidos negativos, positivos y cero es un grupo con respecto a la adición , el neutro es 0 y el opuesto de x es -x

3- Los ejemplos anteriores se tratan de grupos infinitos, en este ejemplo veremos un grupo finito.

4- Consideremos 3 objetos A,B y C, existen 6 permutaciones posibles entre ellos , que simplemente consisten en intercambiar de lugar estos objetos entre si. Para identificarlas les daremos un nombre a cada permutaciones posible de las 6 existentes.

I = \begin{cases} A \to A \\ B \to B \\ C \to B \end{cases} \hspace{2cm}  J = \begin{cases} A \to A \\ B \to C \\ C \to B  \end{cases} \hspace{2cm}  K = \begin{cases} A \to B \\ B \to A\\ C \to A \end{cases}

R = \begin{cases} A \to B\\ B \to C \\ C \to A \end{cases} \hspace{2cm} S = \begin{cases} A \to C \\ B \to B \\ C \to A \end{cases} \hspace{2cm} T = \begin{cases} A \to C \\ B \to A \\ C \to B \end{cases}

Estas permutaciones se pueden operar entre si generando una nueva permutacion

A continuación verificaremos que el conjunto G = {I,J,K,R,S,T} con la operación de permutación que denominaremos * tiene estructura de grupo.

1- Cerradura:

Para verificar esta propiedad debemos operar cada uno de los elemento de G con otro elemento de G y verificar que el resultado también esta en G.

Por ejemplo: J*S =  \begin{cases} A \to A \hspace{0.5cm} (por J) \hspace{0.5cm} A\to C \hspace{0.5cm} (por S)  \\  B \to C \hspace{0.5cm} (por J) \hspace{0.5cm} C\to A \hspace{0.5cm} (por S) \\ C \to B \hspace{0.5cm} (por J) \hspace{0.5cm} B\to A \hspace{0.5cm} (por S) \\ \end{cases} = \begin{cases} A \to C \\ B \to A \\ C \to B \\ \end{cases}

Por lo tanto J * S = T

En cambio S * J = R lo que indica que la operación no es conmutativa. Por lo general los grupos no son conmutativos, si para todo elemento x,y del grupo G x*y = y*x se dice que G es un grupo conmutativo o abeliano.

Se puede comprobar que toda operación de permutacion entre miembro de G esta también miembro de G, o sea \forall x,y \in G x*y \in G. Lo que justifica que satisface la condición de cerradura.

2- Asociatividad

Para verificar este punto debemos demostrar que \forall x,y,x \in G \hspace{0,5cm} x*(y*z) = (x*y)*z

Por ejemplo (J*K)*R = I*R=R y J*(K*R) = J*T = R. Se puede verificar usando la tabla de multiplicación de más abajo que la asociatividad se satisface para todo conjunto de tre elementos de G.

3- Elemento neutro

El elemento neutro es la permutaacion que no sufre cambio alguno en la posicion de sus elementos, en este caso es I.

Verificar que operando por derecha y por izquierda con cualquier otro miembro de G el resultado es ese miembro de G.

4- Inverso

El inverso es aquel elemento de G que operado por derecha y por izquierda con cualquier elemento de G el resultado es la identidad.

Por ejemplo: J*K = K*J = I \hspace{0.5cm} R*R=I en donde R es el inverso de si mismo$

Análogamente se puede probar que todo elemento de G tiene su correspondiente inverso.

Por lo tanto (G,*) tiene estructura de grupo. En particular este tipo de grupo se lo denomina grupo de permutaciones de n elementos (en este caso n = 3) \Box

Podemos construir una tabla de multiplicación para representar todas las operaciones posibles dentro de G.

Asimismo si observamos, veremos ue I,J y K forman un grupo contenido en G, o sea si H={I,J,K} \subset G  \hspace{0.5cm} y\hspace{0.5cm} H es un grupo , entonces H es un subgrupo de G. Se denota como H < G.

Referencias:

1- El concepto de grupo, su potencia y sus lìmites, Las grandes corrientes del pensamiento matematico, EUDEBA, 1962

2- Theory of Groups of Finite Order, Willian Burnside, 1897

Publicado por Disfrute Matematicas

Ingeniero aficionado a diferentes ramas de las matematicas como Algebra lineal y abstracta, teoría de números , geometria, topologia o Cálculo real y complejo. Pueden realizar consultas , correcciones o propuestas de mejoras enviando mail a disfrutelasmatematicas@gmail.com

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