Los números reales II

Siguiendo la serie de artículos sobre los números reales, en este caso vamos a analizarlos desde el punto de vista de métodos geométricos y expresión decimal.

Métodos geométricos y expresión decimal

Los antiguos griegos usaremos métodos geométricos de aproximación para el cálculo de los números reales. Para ellos , un números era una simple razón \frac{a}{b} entre dos segmentos rectilíneos a y b. En consecuencia dieron construcciones geométricas para establecer la igualdad entre razones, así como para la adición , sustracción , multiplicación de división de razones. De este modo las leyes del álgebra aparecen como teoremas geométricos. Tengamos en cuenta que recién en el siglo XVII de la mano de Descartes y Fermat se inició el proceso algebraico de la geometría de mano de la Geometría Analítica.

En el siguiente vídeo se muestra como calcular la raíz cuadrada de cualquier número entero, como se describió en el articulo Los números reales I excepto que ese número sea un n-esima potencia de algun entero, el resultado es un números irracional.

La versión griega de la noción de igualdad entre números racionales y reales se basaban en una condición debida a Eudoxio , que especificaba cuando eran iguales dos razones. Esta condición se hacia depender de las posibilidades de formar geométricamente lo multiplos enteros m.a de un segmento dado a y de comparar geométricamente la longitud de los dos segmentos. Se estipula que \frac{a}{b} =\frac{c}{d} cuando , para cada par de enteros positivos m y n

1- Si ma > nb, también mc > nd; si ma < nb también mc < nd.

algebraicamente esto significa que si ma > nb \to \frac{a}{b} > \frac{n}{m} con b y m positivos.Entonces (1) puede leerse así:

\frac{a}{b} = \frac{c}{d} , cuando cualquier número racional \frac{n}{m} que se menor que \frac{a}{b} es también menor que \frac{c}{d} , mientras cualquier \frac{n}{m} que sea mayor que \frac{a}{b} es también mayor que \frac{c}{d}.

La validez de la condición (1) expresa evidentemente , la circunstancia de que dos números positivos \frac{a}{b} y \frac{c}{d} son diferentes entre si, y solo si, existe un números racional mayor que uno de ellos y menor que el otro.

También su condición para \frac{a}{b} <  \frac{c}{d}  tiene el mismo fundamento y es el siguiente:

ra > lb \land rc > ld para enteros convenientes l y r.

Este tipo de estudios es interesante analizar desde el punto de vista histórico , pero ya está desacostumbrado su uso. En la actualidad se estudia aritméticamente , mediante aproximaciones racionales , en especial decimales (el decimal es como se sabe un racional cuyo denominador es potencia de 10). Por ejemplo el irracional \sqrt2 se reemplaza en la practica por las aproximaciones sucesivas 1; 1,4; 1,41; 1,414;….. (2)

En este ejemplo el número \sqrt2 se llama extremo superior del conjunto infinito determinada por la sucesión de números racionales (2), porque tal número es , por lo menos , tan grande como cualquier elementos de la sucesión (2)

En el siguiente artículo de esta serie veremos los postulados principales de los números reales

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