Introducción a la Teoría de Grupos II – Grupo de Permutaciones

En la primera sección de esta serie analizamos la definición de grupo y algunos ejemplos para aclarar conceptos. En esta sección daremos mas ejemplos , enfocados principalmente en los grupos de permutaciones, incluyendo una introducción a la notación utilizada para poder describir este tipo de grupo y similares.

Los grupos que se pueden representar con espacios geométricos son mis favoritos porque son mas intuitivos y el común de las gente los conoce sin saber ,tal vez , que se pueden analizar matemáticamente con la teoría de grupos.

Las rotaciones alrededor de un eje fijo del espacio forman un grupo conmutativo. Las rotaciones alrededor de ejes concurrentes también forman grupo, pues el producto de dos rotaciones cuyos ejes se cortan en un punto O es también una rotación de un eje que pasa por O. Con mayor generalidad , los desplazamientos del espacio , que son transformaciones que convierten toda figura en otra figura igual, forman grupo. Estos dos últimos grupos no son conmutativos, pero se ve claramente que la ley de composición es asociativa, que existe una transformación neutra , la que consiste en no cambiar nada, y todo desplazamiento tiene su desplazamiento inverso.

En su famoso programa de Erlangen , se plantea una generalización de este concepto.

Un ejemplo interesante es el grupo formado por el conjunto de rotaciones y reflexiones de un polígono regular de n lados. Que se denomina grupo diedrico.

Como ejemplo mostraremos el grupo del cuadrado.

Analizando la gráfica del cuadrado se detecta que existe 8 permutaciones de sus vértices que mantienen invariante la figura del mismo

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-1.png — Grupo de permutaciones de un cuadrado.

r_1: — Grupo de permutaciones de un cuadrado.

Por lo tanto el conjunto de permutaciones del cuadrado tal como lo describimos es:

$G = \{r_1,r_2,r_3,r_4,f_h,f_v,f_d,f_c\}$

Demostraremos que $(G, *)$ es un grupo , siendo la operación * la correspondiente a las permutaciones de los vértices del cuadrado.

Previamente vamos a introducir en una notación mas simple que la explicada en la primera sección de esta serie. Esta notación se denomina notación matricial de permutaciones.

Sea la relación $f: \mathbb{Z}_n \to \mathbb{Z}_n$ siendo n la cantidad de elementos de las permutacion f y

Sea $f_n = \{a_0,a_1, \cdots , a_n \}$ un conjunto de n elementos y $\delta = \{f(a_0),f(a_1), \cdots,f(a_n)\}$ el correspondiente conjunto imagen de $f_n$ , podemos representar la relación $f$ como una relación biyectiva entre elemento de $f_n$ y $\delta_n$ Entonces:

$\delta_n =\begin{pmatrix} a_1 & a_2 & a_3 & a_4\\f(a_1) & f(a_2) & f(a_3) & f(a_4) \end{pmatrix}$

Esta matriz muestra en la primera fila el conjunto inicial (dominio) y en la segunda columna el conjunto destino (codominio) de la funcion $f$ .

Para el caso del conjunto de permutaciones del cuadrado tenemos:

r_1 =\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 &4 \\1 & 2 & 3 & 4 \end{pmatrix}

r_2=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 &4 \\2& 3 & 4 & 1 \end{pmatrix}

r_3=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 &4 \\3 & 4 & 1 & 2 \end{pmatrix}

r_4 =\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 &4 \\4& 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}

f_h =\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 &4 \\4& 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}

f_v=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 &4 \\2 & 1 & 4 & 3 \end{pmatrix}

f_d =\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 &4 \\1& 4 & 3 & 2 \end{pmatrix}

f_v=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 &4 \\3 & 2 & 1 & 4 \end{pmatrix}

Para demostrar que este conjunto de permutaciones es un grupo debemos verificar los axiomas que definen a los grupos.

1- Empecemos porque el mas sencillo: La existencia de un neutro. Es decir $\forall x \in G \exists e \in G / ex=xe=x$ .

Nota: De ahora en mas cuando se use la notación multiplicativa evitaremos indicar el operador, y simplemente yuxtaponemos los operando como se expresa en el álgebra de números reales.

Se puede demostrar que el elemento neutro de $G$ es $r_1$ . Como ejemplo se hara la operacion con $r_2$

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 &4 \\2& 3 & 4 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 &4 \\1 & 2 & 3 & 4 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 &4 \\2& 3 & 4 & 1 \end{pmatrix} = r_2$

En la practica la multiplicación de permutaciones es una composición de funciones y se realiza de derecha a izquierda de la siguiente forma:

$1 \to 1$ por $r_1$ y $1 \to 2$ por $r_2$ .

Análogamente:

$2 \to 2 \hspace{0.2cm} y \hspace{0.2cm} 2 \to 3$ , $3 \to 3 \hspace{0.2cm} y \hspace{0.2cm} 3 \to 4$ y $4 \to 4 \hspace{0.2cm} y \hspace{0.2cm} 4 \to 1$ ,

Se deja al lector la verificación de los otros casos.

2- Cerradura: Como sabemos la propiedad de cerradura indica que $\forall x,y \in G xy \in G$ . Eso se comprueba porque el conjunto de rotaciones y refelxiones son todas las posibles que dejan al cuadrado invariante.

La verificación caso por caso la veremos mas adelante en esta serie.

3- Asociatividad: Se recuerda que si $\forall x,y,z \in G x(yz)=(xy)z$ . Esta propiedad también se verifica y los vamos a demostrar mas adelante en esta serie de artículos.

4- Existencia del inverso: Es decir para todo elemento en $G$ existe un elemento también en $G$ de forma tal que la composición entre ambos da como resultado el elemento neutro.

Usando la notación matricial, inverso de una permutacion se obtiene simplemente intercambiando las filas.

Por ejemplo: El inverso de $f_h =\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 &4 \\4& 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}$ es $\begin{pmatrix} 4& 3 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 3 &4 \end{pmatrix}$

Por lo tanto el conjunto de rotaciones y reflexiones del cuadrado forman un grupo, es un grupo de permutaciones, que es cíclico y ademas es un grupo diedrico de orden 8.

En el siguiente articulo veremos otra forma de notación de los grupos de permutaciones y el uso de un software especializado para hacer operaciones con grupos.

$r_1:$ Estado inicial	$r_2:$ Rotación 90º
$r_2:$ Rotacion 180º	$r_3:$ Rotacion 270º
$fh;$ Reflexión horizontal	$fv:$ Reflexion vertical
$fd:$ Reflexión diagonal	$fc:$ Reflexión contradiagonal

Introducción a la Teoría de Grupos II – Grupo de Permutaciones

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