Teorema de lo números primos

Los números primos ya eran analizados desde la época de Euclides, él fue el primero en demostrar que existen infinita cantidad de primos. La pregunta que muchos maticos no pudieron responder durante siglos fue:

¿Cual seria el enésimo primo?

Si graficamos los números primos en la recta de enteros tal que cuando aparece un primo saltamos en uno hacia arriba obtenemos lo que se llama la escalera de números primos. Para un conjunto acotado de números enteros n esa función tiene tantas discontinuidades como números primo halla menores o igual es a n.

Para un dado x \in \mathbb{Z} Se denomina función contadora de primos \pi(x) a la función que indica la cantidad de números primos menor o igual a x.

En la siguiente gráfica se muestra sus valores hasta n = 25.

Escalera de primos hasta n = 25

Si “miramos” esta gráfica desde lejos podemos considerar a la función contadoras de primos como una función continua (sabemos que no lo es, es una aproximación). De esta forma podemos usar herramientas del cálculo para analizar la distribución de los números primos.

El uso del cálculo para analizar conceptos de Teoría de Números son parte de una rama aparte llamada Teoría Analítica de Números.

Escalera de primos para n <= 100
Escalera de primos para n <= 1000
Escalera de primos para n <= 10000
Escalera de primos para n <= 100000

Primera aproximación

A fines del siglo XVIII, un joven estudiante alemán, que luego sería unode los mas importantes matemáticos de la historia Carl Fiedrich Gauss, analizó una tabla de logaritmos y uno con números primos y conjeturó que la cantidad de números primos menores a un x dado tiende a x/log(n) n lo suficientemente grande.

El símbolo \backsim significa que ambas funciones tienden a infinito con la misma razón. Es decir:

En ese caso se dice que son funciones asintóticas entre si.

Distribución de primos (violeta), x/log x (verde)

Una mejor forma de aproximar a $\pi(x)$ es generar un curva más suave en función a la aproximación de Gauss.

Se define como logaritmo integral a:

Se demuestra que esta función es asintótica a la aproximación de Gauss.

En este caso vemos que esta aproximación es mejor que la anterior.

La Carta original de Gauss contando su descubrimiento.
Li(x) (arriba), contadora de primos (medio), x/log(x) (abajo)

Teorema de los números primos:

Para valores grandes de x la función integral es asintótica a la función contadora de primos

Li(x) \backsim \pi(x)

La demostración formal del teorema la hicieron de forma independiente tanto Jacques Hadamard como Charles-Jean de la Vallée Poussin en el año 1896

Referencias:

Demostración elemental del TNP. https://digital.csic.es/bitstream/10261/31196/1/Articulo49.pdf

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