Visualización animada de los ceros de la funcion Zeta de Riemman.

Como vimos en Verificación de la Hipótesis de Riemman la función zeta de Riemman se puede expresar como

Donde \sigma + ti , n \in \mathbb{N}

Esta serie converge para \sigma > 1 y a través de la técnica de extensión analítica se puede extender el dominio de la función a todo el plano complejo. Riemman pudo demostrar que además de los ceros no triviales en \sigma=-2k existen ceros no triviales que están dentro de la franja (0,1). Como se comentó en Verificación de la Hipótesis de Riemman Riemman conjeturo que todos esos ceros está en la recta \frac{1}{2}+ti

Usando algoritmos informáticos y gran capacidad de procesamiento y memoria se ha llegado a verificar que los primeros 10.000.000.000.000 (10 billones) de ceros no triviales satisfacen la hipótesis. Para una prueba experimental esta verificación es mas que suficiente, pero como se sabe que existen infinitos ceros no triviales de zeta de Riemman esto no es suficiente para demostrar que la hipótesis es cierta o no (pues aun no existe demostración matemática por la afirmativa ni se encontraron ceros no triviales fuera de esa recta que refutaría la hipótesis). Por tal motivo Clay Mathematics Institute lo incluye entre los 7 problemas de milenio (y único que no se puedo resolver de la lista de 23 problemas que Hilbert presento en 1900 ) y ofrece un premio de 1 millón de dólares al que la demuestre o refute.

Reflection of s and 1 - s
Linea critica en 1/2+ it

¿Por qué esta tan importante esta hipótesis?. Porque si se demuestra que es cierta los ceros de la funciona Zeta de Riemman se puede aproximar la función de densidad de números primos perfectamente. Eso no permite conocer fácilmente si un determinado número entero es primo o no , saber el siguiente primo a un numero dado, y muchas otros problemas relacionados a los primos.

Visualizando los ceros

En esta gráfica se muestra la parte real e imaginaria de \zeta(1/2+ti)

Parte real (rojo) y parte imaginaria (azul) de la línea crítica Re(s) = 1/2 de la función zeta de Riemann. Pueden verse los primeros ceros no triviales en Im(s) = ±14,135, ±21,022 y ±25,011. (Fuente: Wikipedia)

Usando Python y matplotlib se genera una animación que muestra la funciona Zeta de Riemman en coordenadas polares, en la grafica se muestra como la grafica función interseca con el eje 1/2+ti , puntos que son los primeros ceros no triviales de la funcion Zeta.

Es interesante ver como la funciona zeta oscila en la misma region alrededor del centro de coordenadas formando un patrón parecido a una cebolla.

Referencias:

The holy grail of mathematics: animated visualization of the Riemann Zeta zeros

Verificación de la Hipótesis de Riemman

Hipótesis de Riemman (Wikipedia)

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