Enteros notables

En este articulo vamos a describir algunos números enteros con características notables:

2:

El mas chicos de los números enteros que tiene una importante propiedad, es el único número primo que es par.

6:

Es el más chicos de los número perfectos , es decir la suma de todos sus divisores el mismo numero: 6 = 1+2+3

6174:

Organizas sus cifras para crear el número mas alto posible y le restas esas mismas cifras organizadas para que sea el mas bajo posible, y repites esto con el resultado tarde o temprano llegas a 6174 y luego ya solo quedas en un bucle dando ese numero…..

Ejemplo: 4789

Su mayor organización: 9874 y su menor organización: 4789.

Los restan y hacen lo mismo con el resultado y siempre les acabara dando 6174.

El numero de Sheldon, el 73:

Es el 21-ésimo numero primo y si invertimos los dígitos el resultado es 21 tenemos 12 y el 12esimo numero primo es el 37 que surge de invertir los dígitos del 73, además 7×3 es 21 que es el índice del 73 en la lista de números primos.

Se demostro que el 73 es el numero primo mas chico con esa.propiedad pero además es.wl único que la tiene.

No es fascinante??

Número de Hardy-Ramanujan, 1749:

Mi otro número favorito es el que es el entero mas chico que se puede expresar con suma de dos cubos de dos formas diferentes, es el 1749,

1749= 1^3+12^3=9^3+10^3

3435

La suma de los dígitos de 3435 elevados a sí mismos es igual a 3435.

3^3 + 4^4 +3^3 5^5 =3435

Los números triangulares

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Los números triangulares fueron ampliamente estudiados por el genio matemático Alemán Federico Gauss

Gauss era reacio a publicar sus trabajos hasta esta seguro de su calidad. En una libreta de el encontraron medio escondido la fórmula que determina que todo número enteros es formado por la suma de como máximo tres números triangulares.
Qué son los números triangulares? Son aquellos que como muestra la figura se pueden representar con puntos que formen un triangulo equilatero.

Por ejemplo el 7=3+3+1 usa tres números triangulares que son el 3, el 3 de nuevo (se pueden repetir) yel 1.

En cambio en 24=15+6+3 o sea usa otros tres triangulares.

Otro ejemplo: 17 = 10 + 6 +1 etc.

En general la ley de formación de la serie formado por los números triangulares es:

N = \frac{n(n+1)}{2}

Para

n=1, N=1
n=2 N = 3
n=3 N = 6 etc

Vamos a usar este tipo de números en aplicaciones práctica

Problema: Obtener la suma de los primeros 100 números enteros, o sea:

S = 1+2+3+4+———+100

Sumando el primero con el último , el segundo con el anteultimo etc tenemos

1 + 100 = 101
2 + 99 = 101
3 + 98 = 101
.
.
.
50 + 51 = 101

Es decir las sumas siempre dan 101,por lo tanto la suma buscada es

S = 50 * 101 = 5050

Y por lo tanto tenemos una forma de resolver el problema en forma mucho más simple que haciendo toda la suma.

Esta deducción se atrubuye a Federic Gauss que la dedujo en segundos ante el pedido de si maestro. Tenia solo10 años.
Por el gran aporte que hizo a las mátematicas se lo denomina justamente “El principe de las matemáticas”

Volviendo al problema, en general, si queremos sumar los primeros n números enteros tenemos:

Sn = 1+2+3+——-(n-2)+(n-1)+n

S1 = 1 + n
S2 = 1 + (n-1)
S2 = 2 + (n-2)
.
,
,
S(\frac{n}{2}) = (\frac{n}{2}) + (\frac{n}{2})+1

Entonces

Sn = (\frac{n}{2})(n+1) = \frac{n(n+1}{2}

Entonces, ¿cual es la relación de esta sumatoria con lo números triangulares?

Pues,muy fácil, si acomodamos dos triángulos que forman un número triangular de manera de generar un rectángulo, tendremos uno de n(n+1) puntos.
Para calcular el total de punto de ese rectángulo hacemos n(n+1), pero como lo que nos interesa es calcular la cantidad de puntos del triangulo lo dividimos por 2 y tenemos:

Cantidad de puntos del triangulo =\frac{n(n+1}{2} que es la fórmula que permite calcular la suma de los número de 1 a N.

Los números reales I

En esta serie de artículos se dará una introducción a los números reales, empezando por el dilema de la no racionalidad de \sqrt2 ya descubierto por los pitagóricos hace más de 2000 años, pasando por la expresión geométrica y decimal , postulados , desarrollo en serie de potencias para aproximar números reales, definiciones más formales como las cortaduras de Dedekit y las convergencias de Cauchy.

La fuente de este articulo surge principalmente del libro Algebra Moderna de Birkhoff , ed en español de 1954.

Dilema de Pitágoras:

Lo pitagóricos ya sabían que la relación entre los catetos a,b de un triángulo rectángulo y su hipotenusa h satisface la ecuación

h^2 = a ^ 2 + b ^ 2

Que es la expresión del famosisimo teorema de Pitágoras.

Si a = b = 1 tenemos que h^2  = 1+1 = 2 \to h = \sqrt2

Se puede demostrar que para esta caso h no se puede representar como la razón de dos números enteros, o sea no existen a,b \in \mathbb{N} | h = \frac{a}{b}, o sea h no es un número racional.

De allí surge la definición de los números irracionales, o sea número que no se pueden representar como cocientes de enteros.

A continuación una de las demostraciones de la irracionalidad de \sqrt2

Supongamos que (\frac{a}{b}) = \sqrt2 es una fracción irreductible y (\frac{a}{b})^2 = 2 \to  a^2  = 2b^2 y descomponiendo a y b en factores primos resulta

a = p1p2 \dots pn como producto de n primos y

b = q1q2 \dots qm como producto de m primos.

En la descomposición de factores primos de a^2  tenemos n parejas de primos y en la de b^2 m parejas, pero tenemos que a^2  = 2b^2 y 2b^2 contiene un 2 desemparejado, por lo que llegamos a una contradicción, por lo tanto la afirmación de que (\frac{a}{b}) = \sqrt2 con a y b coprimos es falsa, y por lo tanto \sqrt2 no es un número racional.

Teorema 1:

Sea p(x) = x^n + a_{1} x^{n-1}+a_{2}x^{n-2} + \dots + a_{n} con su primer coeficiente igual a 1 y a_{n} enteros. Si la ecuación p(x) = 0 tiene raices racionales, estas son enteras.

Demostración:

Supongamos que p(x) = 0 para alguna fracción x = \frac{a}{b} dividiendo a y b por su mcd puede expresarse x como un cociente x = \frac{r}{l} de dos enteros r y l coprimos. Sustituyendo en p(x) y quitando denominadores

0 = l^2p(\frac{l}{r}) =  r^n + a_{1}r ^n-1 l + a_{2} r^n-2 l^2 + \dots + a_{n} l^n

luego r^n =  -a_{1}r^{n-1} l - a_{2} r^{n-2} l^2 - \dots - a_{n} l^n \to l | r^n  .

Esto exige que cualquier factor primo de l divida a r^n y por lo tanto a r. Pero r y l no tiene divisores comunes, y por lo tanto r = \pm 1 y la fracción dada x = \frac{r}{\pm 1} = \pm r es un número entero \Box

Aplicacion:

Usaremos el teorema anterior para determinar la irracionalidad de \sqrt28

Si |x| \geq 6 \to x^2 -28 > 0 si |x| \leq 5 \to x^2 -28 < 0 y luego ningún entero puede ser solución de la ecuación x^2 -28  = 0 y por lo tanto \sqrt28 no puede ser racional.

De este teorema surge uno más general en el que se puede demostrar que para todo número entero no cuadrado perfecto (es decir que su raíz cuadrada es otro número natural) su raiz cuadrada es irracional, o sea pertenece al conjunto \mathbb{I}.

En símbolos:

\forall x \in \mathbb{N} \land ( \sqrt x \neq a \land a \in \mathbb{N}), \sqrt x \in \mathbb{I}  .

Los números racionales

Recordemos la definición de números racionales:

Sea a,b \in \mathbb{N} el conjunto de los números racionales $\mathbb{Q}$ se define como \mathbb{Q} = \{ a,b \in \mathbb{N}:  \frac{a}{b}  \land   \not = 0  \}.

De la ecuación del tipo bx = a \quad a,b \in \mathbb{N} obtenemos como resultado el par (a,b)

Ejemplo:

(a,b) = (6,2) \to x = 3 , (a,b) = (18,-3) \to x = -6

Estas soluciones forman clases de equivalencias que pueden ser reductibles formadas por cada par (a.b).

Ejemplos:

[(2,1)] = \{ (2,1),(4,2),(-8,-4) \dots (250,125) \dots\}

[(9,-3)] = \{ (9,-3),(-18,6),(27,-9) \dots (900,-300) \dots\}

Sean los pares (a,b) y (c.d) ¿como sabemos que representan la misma solución?

bs = a \to d(bs) = da \to bds = ad y ds = c \to b(ds) = bc \to bds = bc

Por lo tanto si: ad = bc \quad (a,b) \land (c,d) son parte de la misma solución.

Se puede demostrar que (a,b) \sim (c,d) , o sea son parte de la misma clase de equivalencia.

Cuando los pares (a,b) \quad y \quad (c,d) tiene solución en \mathbb{Z} existen r,s \in \mathbb{Z} | br=a \land ds=c los llamamos pares equivalentes si ad = bc .

Por lo tanto (a,b) se pueden expresar como \frac{a}{b} y genera la siguiente clase de equivalencia:

\frac{a}{b}  \sim  \{ (a,b) |  a,b \in \mathbb{Z}, b \not = 0 y para todo (c,d)  ,  d \not  = 0\} es ad = bc

Ejemplos:

\frac{1}{3} \sim  \{  (3,1),(6,2),(12,3  \dots)   \}  \in \mathbb{Z}

1. \frac{3}{1} \sim  \{  (3,1),(6,2),(12,3 ) \dots   \}  \in \mathbb{Z}

2. \frac{2}{3} \sim  \{  (2,3),(4,6),(8,12)  \dots   \}  \in \mathbb{Z}

3. \frac{-1}{5} \sim  \{  (-1,5),(1,-5),(10,-50)  \dots   \}  \in \mathbb{Z}

En los ejemplos 2 y 3 vemos que \frac{a}{b} \not \in \mathbb{Z}, o sea es una extensión del campo \mathbb{Z} que forman el campoo de los números racionales \mathbb{Q}

Demostraremos que \mathbb{Q} es una extensión de \mathbb{Z} y por lo tanto es un cuerpo.

Sea r una solución en \mathbb{Z} de bx = a y s es solución en \mathbb{Z} de

\\ \\  dx = c \\ (bd)x = ad+bc  \\ bx = a \\ x = \frac{a}{b}=r \\ dx = c \\  x = \frac{c}{d} = s \\ r+s =  \frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad+bc}{bd} = x \\ (bd)x = ad+bc

Definimos:

‘+’ como \frac{a}{b} +  \frac{c}{d}  =  \frac{ad+bc}{bd}

‘.’ como \frac{a}{b} . \frac{c}{d} =  \frac{a.c}{b.d}

Los resultados de las operaciones ‘+’ y ‘.’ son independientes de los elementos de la clase de equivalencia seleccionado.

Isomorfismo entre \mathbb{Z} \quad y  \mathbb{Q}

Si (a,b) = (a,1) \to (a,b) \sim a \in \mathbb{Z}

Teorema:

Los números racionales \mathbb{Q} = \{ a/b, a,b \in \mathbb{Z}  \land b \not = 0\} forman un cuerpo con las operaciones de ‘+’ y ‘.’.

Demostración:

Cerradura :

Sabemos que \frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad+bc}{bd}  \land bd \not = 0

ad, cd, bd \in \mathbb{Z} y por lo tanto ad+cd \in \mathbb{Z}  \land bd \in  \mathbb{Z}

Por lo tanto la suma \frac{a}{b} + \frac{c}{d}  esta en \mathbb{Q} definido por la clase de equivalencia (ad+cb,bd)

Asociatividad:

(\frac{a}{b} + \frac{c}{d}) + \frac{e}{f} =  \frac{ad+cb}{bd} +  \frac{e}{f} = \  \frac{f(ad+cb)+bde}{bdf} =  \frac{fad+fcb+bde}{bdf} \in \mathbb{Q}

Inverso aditivo:

Para que exista inverso aditivo debe existir un c \in \mathbb{Q} tal que \frac{a}{b} + c = 0.

Entonces c = -\frac{a}{b} \in \mathbb{Q}

Inverso multiplicativo

Para que exista un inverso multiplicativo debe existir un e \in \mathbb{Q} tal que e  \frac{a}{b}  = 1

Entonces e = \frac{b}{a} \land a \not  = 0

Distributiva del ‘.’ respecto al ‘+’

r =  \frac{a}{b}( \frac{c}{d} + \frac{e}{f} )  = \\ \frac{ac}{bd} +  \frac{ae}{bf} = \\  \frac{fac+dae}{bdf} \in \mathbb{Q}

Isomorfismos:

Sea el subconjuntos \mathbb{E}  \in  \mathbb{Q}  pueden ser escritos con denominador 1. Entonces son esencialmente iguales a \mathbb{Z}

Teorema:

El cuerpo \mathbb{Q} contiene un anillo \mathbb{ E } isomorfo con $ (\mathbb{Z},+,.) $

+ : \frac{a}{1}+\frac{b}{1} =  \frac{1a+1b}{1} =  \frac{a+b}{1} = a+b   que corresponde al ‘+’ en \mathbb{Z}

. : \frac{ab}{1.1} = ab equivalente al ‘.’ en \mathbb{Z}

Por lo tanto \mathbb{E} \cong \mathbb{Z} \quad \Box