Teoría de conjuntos 4 – Aplicaciones y funciones

Hasta el momento hemos definidos propiedades de los conjuntos y las operaciones que se puede hacer con ellos. En este capitulo vamos a definir las posibles relaciones que pueden realizarse entre elementos de los dos o más conjuntos.

Como introducción a las aplicaciones y funciones en teoría de conjuntos vamos a describir el concepto de producto cartesiano.

Definición: Se llama producto cartesiano del conjunto A por el conjunto B , al conjunto cuyos elementos son los pares ordenados (x,y) tales que x pertenece a A e y pertenece a B

Simbólicamente: A \times B = {(x,y) / x \in A \wedge y \in B}

Es de destacar que cada elemento del producto cartesiano es un par ordenado cuyo primer elemento pertenece al primer conjunto el segundo elemento al segundo.

Ejemplos:

Sea A = \{a,b\} y B = \{1,2,3\} entonces

A \times B =  \{(a,1), (a,2),  (a,3),  (b,1),  (b,2),  (b,3) \}

Ejemplo 2: Se A = \{m,n\} entonces A \times A = \{(m,m), (m,n) , (n,n) , (n,m) \}

Por lo tanto la cantidad de elementos de A \times A = mn

La cantidad de elementos de un conjunto A se denomina cardinal del conjunto y se denota con |A| . Por lo tanto sean los conjuntos A y B de cardinalidad |A| y |B| respectivamente, la cardinalidad del producto cartesiano A \times B será |A \times B | = |A||B|

Ejemplo 3: Dado dos conjuntos , donde uno es el conjunto vacio, su producto cartesiano será el conjunto vacío.

Ejemplo 4: Si dados dos conjuntos , uno de ellos es infinito (de infinita cantidad de elementos) y el otro no es vacío, la cardinalidad del producto cartesiano será infinita.

Ejemplo 5:

Sea D = {1,2,3} y E = {m,n} entonces

D \times E = {(1,m), (2,m), (3,m), (1,n), (2,n), (3,n) }

E \times D = {(m,1), (m,2), (m,3), (n,1), (n,2), (n,3) }

Por lo tanto, en general el producto cartesiano no es conmutativo.

Relaciones entre conjuntos:

Si consideramos al conjunto de los pares ordenados del conjunto producto A \times B tales que el primer elemento del par ordenado esté vinculado con el segundo elemento del par por alguna condición o propiedad , el subconjunto de A \times B así obtenido , define una relación de A en B .

Sea R la relación entre A y B se define como:

R = { (x,y) / x \in A  \wedge y \in B }

La relación se denota como xRy

Al conjunto A se lo denomina conjunto de partida y el conjunto B conjunto de llegada .

Ejemplos:

  • Sean A y B dos conjuntos y \Gamma  = A \times B se dice que es una correspondencia o relación entre A y B
  • Sea el par ordenado \{ (x,y) \in \mathbb{N}  | y = x ^2 \} es una relación donde tanto el conjunto de salida como el de llegada el el grupo de los números naturales \mathbb{N}
  • Sea O un punto en un plano \Pi y sea C una circunferencia con centro O y radio no nulo, contenido en \Pi . El conjunto de pares ordenados (r,A) donde r es una recta de \Pi que pasa por O y A un punto donde la recta corta a C Se puede generar una relación entre el conjunto de rectas del plano \Pi que pasan por O (conjunto de salida) y el conjunto de llegada serían los puntos del la circunferencia C
  • Para el ejemplo anterior si llamamos como S al conjunto de las rectas que pasan por O y a M al conjunto de los puntos del plano \Pi tenemos una relación entre S y M.

Aplicaciones entre conjuntos:

Las relaciones entre conjuntos puede definir una o varias aplicaciones. Se define como aplicación entre dos conjuntos cuales quiera a la operación que relaciona elementos del conjunto de salida con el del conjunto de llegada. Los conjuntos de salida y de llegada pueden ser los mismos, pero al tomar subconjuntos del conjunto de elementos de salida (dominio) y de llegada (codominio) la aplicación puede ser diferente. Eso se ve en los últimos dos ejemplos. La aplicación entre los conjuntos A y B se denota como A \to B .

Por lo tanto definimos como dominio a un subconjunto del conjunto de salida y el codominio a un subconjunto de conjunto de llegada de la aplicación entre dos conjuntos participantes de la aplicación.

En símbolos: Sea A el conjunto de salida de una aplicación \Gamma  y A' \subset A y B el conjunto de llegada y B' \subset B , y \Gamma : A' \to B' una aplicación , entonces A' y B' son el dominio y codominio respectivamente de la aplicación \Gamma

Ejemplos:

Sea A = {a,b,c,d,e} y B = {1,2,3,4,5} y la aplicación A \to B = {(a,2),(b,3),(c,4)}. El dominio y codominio de esta aplicación es A' \subset A = {a,b,c} y B' \subset B = {2,3,4}

Aplicación dada por la imagen.

Al codominio también se lo llama imagen de la aplicación. Sea \Gamma: A \to B la imagen es la aplicacion reciproca, o sea B \to A . A esa aplicación se la denomina aplicación inversa de A \to B y se denota como \Gamma^{-1} .

La aplicación es una generalizacion del concepto de función visto es Cálculo. La definición de función es mas restrictiva y la veremos a continuación.

Funciones

Se dice que una relación f es una función si \forall x \in A   existe a lo sumo un objeto correspondiente a x por f . Es decir

  • El conjunto de salida es igual al conjunto de definición ( A = dominio de f )
  • Se denota como f: A \to B

Tipo de funciones:

Inyectiva: Se dice que una funcion es inyectiva si para todo x \in A \exists ! y \in B . Es decir la imagen de un determinado x \in A es uno y solo un elemento de y \in B . Esta definición es equivalente a:

f: A \to B es inyectiva si \forall a,a' \in A , f(a)=f(a') \Rightarrow  a=a' .

Nota: El símbolo x \in A \exists ! y \in B significa “Existe un único y pertenciente a B”

Ejemplos:

  • Se \mathbb{N} el conjunto de los números naturales y sea \mathbb{Z} el conjunto de los números enteros. La función f: \mathbb{N} \to   \mathbb{Z} / f(x) = x^2 NO es inyectiva porque dado x \not = -x  se tiene que (-x) ^2  = x ^2
  • La función contante de valor b tampoco es inyectiva porque \forall x  f(x) = b
  • Para todo conjunto A la función idéntica es inyectiva.
  • La aplicación de A = {1,2,3,4 } \to  B = { a,b,c } definida por \begin{cases}   1 \to a \\ 2 \to b \\ 3 \to c  \end{cases}  es inyectiva.
  • La aplicación de A = {1,2,3,4 } \to  B = { a,b,c } definida por \begin{cases}   1 \to a \\ 2 \to b \\ 3 \to b \end{cases} NO es inyectiva, por que f(2)=f(3)  y 2  \not = 3

Sobreyectiva: Se dice que una función es sobreyectiva si para todo b de B existe un a de A tal que f(a) = b . Es decir todo elemento del conjunto de salida A tiene su correspondiente imagen en B

En símbolos f es sobreyectiva \Leftrightarrow \forall b \in B \exists a \in A / f(a)= b .

Ejemplos:

  • La aplicación f: \mathbb{N} \to \mathbb{N} dada por f(x)=2x NO es una función la imagen posobreyectiva pues f de \mathbb{N} son los números pares es decir dado un número impar y no existe un natural x / f(x) = y
  • La función idéntica es sobreyectiva.
  • La función f: \mathbb {N} \to \mathbb{N} = \begin{cases} f(x) = x+1  , x= 2k \\ f(x) = x-1 , x = 2k+1 \end{cases} es sobreyectiva, en efecto dado un número natural y impar se tiene que y-1 es par, entonces f(y-1)=y  y si y  es par se tiene que y+1  es impar, por lo cual f(y+1) = y

Biyectiva: Una función es biyectiva o biunívoca si es inyectiva y sobreyectiva.

Ejemplos:

  • La aplicación de A = \{1,2,3 \}   \to  B = \{ a,b,c \} definida por \begin{cases}   1 \to a \\ 2 \to b \\ 3 \to c  \end{cases} es biyectiva.

Teoría de conjuntos 3 – teoría axiomática ZF

Durante el siglo XIX se trabajó denodadamente en la fundamentacion de la matemáticas, generando grandes desarrollos tantos a nivel de lógica , concepto de límite, integral ,definiciones formales del concepto de número.

Unos de esos trabajos de trató en generar una teoría axiomática de conjuntos, de la cual se podría demostrar teoremas relacionados.

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La cinta de Moebius

La cinta de Moebius es una figura geométrica que tiene interesante propiedades geométricas y topográficas.

  1. Tiene una sola cara. Es decir que queremos pintar una cara de la cinta al recorrerla terminamos pintando “ambas” caras, o sea esa cara que pintamos es la única.
  2. Tiene un solo borde: Simil caso anterior, al recorrerla por el borde comenzaremos y terminaremos en le mismo punto.
  3. Es una superficie no orientable. Si una persona la recorre tumbada sobre su superficie con su cabeza mirando a la derecha terminara de recorrerla mirando hacia la izquierda. Desde el punto de vista de cálculo vectorial , en la cinta de Moebius no se pueda calcular la integral de superficie.

En \mathbb{R}^3 la siguiente es la ecuación paramétrica de la cinta de Moebius

m(x,y,z) = \begin{cases} x(u,v)= [ 1 + \frac{v}{2}cos\frac{u}{2} ] \\ y(u,v)= [ 1 + \frac{v}{2}sin\frac{u}{2} ] \\ z(u,v)= \frac{v}{2}sin\frac{u}{2} \end{cases}

Con 0 \leq u < 2 \pi y -0,5 \leq v \leq 0,5

Teoría de Conjuntos 2 – Álgebra de conjuntos

Inclusión

Dados dos conjuntos A y B , se dice que A está incluido en B o que A es un subconjunto de B y se escribe A \subset B si todo elemento que pertenece a A también pertenece a B . Si A no está incluido en B se denota A\not \subset B . Es decir A \subset B \Leftrightarrow { x: x\in A \Rightarrow x \in B  }

Un conjunto se dice que es vacío si no tiene elementos, a ese conjunto particular se los denota con el símbolo \emptyset . Por definición de vacío \emptyset \subset A para cualquier conjunto A.

Se dice que un subconjunto A de B es propio si existen algunos elementos de B que no pertenece a A. Es decir si A \subset B el conjunto A es propio de B \Leftrightarrow \exists b \in B / b \not \in A

Ejemplos:

  1. Sea A = {1,2,3} y B = {1,2,3,4,5,6} \Rightarrow  A \subset B

Por lo tanto A es un subconjunto propio de B .


Pertenencia

La relación de pertenencia indica que un elemento pertenece a un conjunto. Por ejemplo sea los números, 1,2,3,4…. pertenecen al conjunto de los números naturales \mathbb {N}. Esta relación se denota con el símbolo \in, y si no pertenece se usa \not \in .

Ejemplo: Sea A = {a,b,c,d} y B = {c,d,e,f,g} , los elementos a,b,c,d \in B \wedge  A , en cambio los elementos e,f,g \in B \wedge \not \in A

Igualdad

Dos conjuntos A y B con iguales si todos los elementos de A y B son iguales. Teniendo en cuenta la definición de inclusión A =B\Leftrightarrow A \subset B \wedge B \subset A

Unión

La unión de dos o más conjuntos es un conjunto formado por todos los elementos de los conjuntos que se unen. Esta operación se denota con el simbolo \cup

Ejemplo:

Sea A = {a,b,c,d} y B = {c,d,e,f,g} \Rightarrow  A \cup B = {a,c,d,e,f,g}.

Como se ve en el ejemplo, los elementos en común entre ambos conjuntos no se repiten en el conjunto resultado.

Intersección

La intersección de dos o más conjuntos es un conjunto formado por todos los elementos de los conjuntos que son en común a todos los conjuntos. Esta operación se denota con el símbolo \cap .

Ejemplo:

Sea A = {a,b,c,d} y B = {c,d,e,f,g} \Rightarrow  A \cap B = {c,d}.

Como se ve en el ejemplo, los elementos en común son los únicos que forman el conjunto intersección.

Complemento

Dado el conjunto U de todos los elementos en estudio y sea A un subconjunto de U se define el complemento de A a todos los elementos de U que no pertenezcan a A . Se denota como A^c .

A^c = {x: x / x \in U \wedge x \not \in A }.

Ejemplos:

U = \mathbb{N} y \Rightarrow A = {5,6,7,10,11,12} A^c = {1,2,3,4,8,9,13,14,15…..}

2. Sea U = {a,b,c,d,e,f} y A = {a,b,c} \Rightarrow A^c = {d,e,f}

Ley de De Morgan

La ley de De Morgan se denomina asi en honor al matematico ingles nacido en la India Augustus De Morgan (1806-1871). Esta ley permite relacionar las operaciones de union , intersección y complemento de conjuntos.

Sea A , B conjuntos arbritarios.

(A \cup B)^c = A^c \cap B^c y (A \cap B)^c = (A^c \cup B^c )

Ejemplos:

U = {a,b,c,d,e,f} , A = {a,b,c} y B = {c,d,e} \Rightarrow (A \cap B)^c  = {a,b,d,e,f} = A^c \cup B^c

Diferencia

La diferencia entre los conjuntos A y B es el conjunto de elementos formado por elementos de A que no pertenezcan a B . Se denota A-B , A/B  o A \sim B . En este curso usaremos la primera forma.

A-B = {x: x \in A \wedge x \not \in B }

Ejemplos: Sea A = {1,2,3,4,5,6,7} y B = {4,5,6} A-B = {1,2,3,7}

Diferencia simétrica

La diferencia simétrica entre A y B es el conjunto formado por los elementos de ambos que no tengan elementos en común, se denota con el símbolo \bigtriangleup .

A \bigtriangleup  B = { x:x \in A \wedge x \in B \wedge x \not \in A \cap B }.

Teoremas:

  1. A \bigtriangleup  B = (A \cup B) \cap (A \cap B )^c
  2. A \bigtriangleup  B  = (A \cap B^c ) \cup (A^c  \cap B )

Propiedades:

  1. A \bigtriangleup B = B \bigtriangleup  A (Propiedad conmutativa).
  2. (A \bigtriangleup B) \bigtriangleup  C = A \bigtriangleup  (B \bigtriangleup  C) (Propiedad asociativa)
  3. A \bigtriangleup  \emptyset = A
  4. A\bigtriangleup  A = \emptyset
  5. (A \bigtriangleup  B) \cap C = (A \cap B)  \bigtriangleup (B \cap C) (Propiedad distributiva de la intersección con respecto a la diferencia simétrica)
  6. (A \bigtriangleup B) = \emptyset \Leftrightarrow  A = B
  7. (A\bigtriangleup B) \cup (B \bigtriangleup  C) = ( A \cup B \cup C) - (A \cap B \cap C)

Ejemplos:


A = {1,2,3,4} y B = {2,5,4,7} entonce A \bigtriangleup  B ={1,3,5,7}

Secciones cónicas – Capitulo 1

Las secciones cónicas o simplemente cómicas son curvas planas que surgen de la intersección de un plano con un cono de base circular , de allí su nombre.

Según la siguiente figura las cónicas se pueden clasificar en:

Circunferencia: Cuando el plano que corta al cono es paralelo a la base. Si pasa justo por el extremo superior del cono se e dice un punto, en ese caso se dice que es una cónica degenerada.

Circunferencia (Geogebra)

Elipse : Surge de la intersección del plano que corta en ángulo diferente de 0 y corta al cono en ambos lados.

Elipse (Geogebra)

Parábola : Idem elipse pero el plano corta un lado del cono y su base.

Parábola (Geogebra)

Hipérbola : Cuando el plano corta al cono en forma paralela a su directriz (plano perpendicular a la base que pasa por el vértice del cono)

Hiperbola (Geogebra)