El porque de este blog

Ante todo muchas gracias por leer mi blog, soy apasionado de las matemáticas, con formación en ingeniería y de profesión desarrollado de software. Mi pasión por las matemáticas nacio cuando estudiando ingeniería tuve muy buenos profesores de álgebra, calculo de una y varias variables, análisis complejo , estadística etc.

la vida me llevó por muchos caminos, formé familia, reforcé mi profesión y luego dije ¿porque no retomar el estudio de las matemáticas a mi tiempo y sin presiones?. A mediados de 2017 retomé en forma autodidacta repasando matemáticas de ingeniería como para entrar en calor, luego me interesó temas que no tenía en mi “cartera” matemática, como teoría de números o álgebra abstracta y acá estoy generando publicaciones en base a investigaciones de libros, vídeos, paginas web etc, enfocado en ser entendible para estudiantes universitarios y apasionados como yo en aprender mas de este maravilloso mundo.

Como autodidacta tengo mucho para aprender, estoy abierto a sugerencias de mejoras, temas nuevos

Elegí seguir estudiante mas sobre álgebra moderna, mas de teoría de grupos, anillos, campos, teoría de Galois, álgebra conmutativa y allí poder seguir con Geometría Algebraica

Por el lado de calculo, profundizar el Análisis Complejo para aprender la vinculación con la teoría de números y la hipótesis de Riemman.

Esto recién empieza.

Introducción a la Teoría de Grupos II – Grupo de Permutaciones

En la primera sección de esta serie analizamos la definición de grupo y algunos ejemplos para aclarar conceptos. En esta sección daremos mas ejemplos , enfocados principalmente en los grupos de permutaciones, incluyendo una introducción a la notación utilizada para poder describir este tipo de grupo y similares.

Los grupos que se pueden representar con espacios geométricos son mis favoritos porque son mas intuitivos y el común de las gente los conoce sin saber ,tal vez , que se pueden analizar matemáticamente con la teoría de grupos.

Las rotaciones alrededor de un eje fijo del espacio forman un grupo conmutativo. Las rotaciones alrededor de ejes concurrentes también forman grupo, pues el producto de dos rotaciones cuyos ejes se cortan en un punto O es también una rotación de un eje que pasa por O. Con mayor generalidad , los desplazamientos del espacio , que son transformaciones que convierten toda figura en otra figura igual, forman grupo. Estos dos últimos grupos no son conmutativos, pero se ve claramente que la ley de composición es asociativa, que existe una transformación neutra , la que consiste en no cambiar nada, y todo desplazamiento tiene su desplazamiento inverso.

En su famoso programa de Erlangen , se plantea una generalización de este concepto.

Un ejemplo interesante es el grupo formado por el conjunto de rotaciones y reflexiones de un polígono regular de n lados. Que se denomina grupo diedrico.

n-agono regular

Como ejemplo mostraremos el grupo del cuadrado.

Analizando la gráfica del cuadrado se detecta que existe 8 permutaciones de sus vértices que mantienen invariante la figura del mismo

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r_1: Estado inicial
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r_2: Rotación 90º
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r_2: Rotacion 180º
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r_3: Rotacion 270º
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fh; Reflexión horizontal
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fv: Reflexion vertical
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fd: Reflexión diagonal
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fc: Reflexión contradiagonal
Grupo de permutaciones de un cuadrado.

Por lo tanto el conjunto de permutaciones del cuadrado tal como lo describimos es:

G = \{r_1,r_2,r_3,r_4,f_h,f_v,f_d,f_c\}

Demostraremos que (G, *) es un grupo , siendo la operación * la correspondiente a las permutaciones de los vértices del cuadrado.

Previamente vamos a introducir en una notación mas simple que la explicada en la primera sección de esta serie. Esta notación se denomina notación matricial de permutaciones.

Sea la relación f: \mathbb{Z}_n \to \mathbb{Z}_n siendo n la cantidad de elementos de las permutacion f y

Sea f_n = \{a_0,a_1, \cdots , a_n \} un conjunto de n elementos y \delta = \{f(a_0),f(a_1), \cdots,f(a_n)\} el correspondiente conjunto imagen de f_n, podemos representar la relación f como una relación biyectiva entre elemento de f_n y \delta_n Entonces:

\delta_n =\begin{pmatrix} a_1 & a_2 & a_3 & a_4\\f(a_1) & f(a_2) & f(a_3) & f(a_4) \end{pmatrix}

Esta matriz muestra en la primera fila el conjunto inicial (dominio) y en la segunda columna el conjunto destino (codominio) de la funcion f.

Para el caso del conjunto de permutaciones del cuadrado tenemos:

r_1 =\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 &4 \\1 & 2 & 3 & 4 \end{pmatrix}r_2=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 &4 \\2& 3 & 4 & 1 \end{pmatrix}
r_3=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 &4 \\3 & 4 & 1 & 2 \end{pmatrix}r_4 =\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 &4 \\4& 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}
f_h =\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 &4 \\4& 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}f_v=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 &4 \\2 & 1 & 4 & 3 \end{pmatrix}
f_d =\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 &4 \\1& 4 & 3 & 2 \end{pmatrix}f_v=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 &4 \\3 & 2 & 1 & 4 \end{pmatrix}

Para demostrar que este conjunto de permutaciones es un grupo debemos verificar los axiomas que definen a los grupos.

1- Empecemos porque el mas sencillo: La existencia de un neutro. Es decir \forall x \in G \exists e \in G / ex=xe=x.

Nota: De ahora en mas cuando se use la notación multiplicativa evitaremos indicar el operador, y simplemente yuxtaponemos los operando como se expresa en el álgebra de números reales.

Se puede demostrar que el elemento neutro de G es r_1. Como ejemplo se hara la operacion con r_2

\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 &4 \\2& 3 & 4 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 &4 \\1 & 2 & 3 & 4 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 &4 \\2& 3 & 4 & 1 \end{pmatrix} = r_2

En la practica la multiplicación de permutaciones es una composición de funciones y se realiza de derecha a izquierda de la siguiente forma:

1 \to 1 por r_1 y 1 \to 2 por r_2.

Análogamente:

2 \to 2 \hspace{0.2cm} y \hspace{0.2cm} 2 \to 3, 3 \to 3 \hspace{0.2cm} y \hspace{0.2cm} 3 \to 4 y 4 \to 4 \hspace{0.2cm} y \hspace{0.2cm} 4 \to 1,

Se deja al lector la verificación de los otros casos.

2- Cerradura: Como sabemos la propiedad de cerradura indica que \forall x,y \in G xy \in G. Eso se comprueba porque el conjunto de rotaciones y refelxiones son todas las posibles que dejan al cuadrado invariante.

La verificación caso por caso la veremos mas adelante en esta serie.

3- Asociatividad: Se recuerda que si \forall x,y,z \in G x(yz)=(xy)z. Esta propiedad también se verifica y los vamos a demostrar mas adelante en esta serie de artículos.

4- Existencia del inverso: Es decir para todo elemento en G existe un elemento también en G de forma tal que la composición entre ambos da como resultado el elemento neutro.

Usando la notación matricial, inverso de una permutacion se obtiene simplemente intercambiando las filas.

Por ejemplo: El inverso de f_h =\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 &4 \\4& 3 & 2 & 1 \end{pmatrix} es \begin{pmatrix} 4& 3 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 3 &4 \end{pmatrix}

Por lo tanto el conjunto de rotaciones y reflexiones del cuadrado forman un grupo, es un grupo de permutaciones, que es cíclico y ademas es un grupo diedrico de orden 8.

En el siguiente articulo veremos otra forma de notación de los grupos de permutaciones y el uso de un software especializado para hacer operaciones con grupos.

Los números reales II

Siguiendo la serie de artículos sobre los números reales, en este caso vamos a analizarlos desde el punto de vista de métodos geométricos y expresión decimal.

Métodos geométricos y expresión decimal

Los antiguos griegos usaremos métodos geométricos de aproximación para el cálculo de los números reales. Para ellos , un números era una simple razón \frac{a}{b} entre dos segmentos rectilíneos a y b. En consecuencia dieron construcciones geométricas para establecer la igualdad entre razones, así como para la adición , sustracción , multiplicación de división de razones. De este modo las leyes del álgebra aparecen como teoremas geométricos. Tengamos en cuenta que recién en el siglo XVII de la mano de Descartes y Fermat se inició el proceso algebraico de la geometría de mano de la Geometría Analítica.

En el siguiente vídeo se muestra como calcular la raíz cuadrada de cualquier número entero, como se describió en el articulo Los números reales I excepto que ese número sea un n-esima potencia de algun entero, el resultado es un números irracional.

La versión griega de la noción de igualdad entre números racionales y reales se basaban en una condición debida a Eudoxio , que especificaba cuando eran iguales dos razones. Esta condición se hacia depender de las posibilidades de formar geométricamente lo multiplos enteros m.a de un segmento dado a y de comparar geométricamente la longitud de los dos segmentos. Se estipula que \frac{a}{b} =\frac{c}{d} cuando , para cada par de enteros positivos m y n

1- Si ma > nb, también mc > nd; si ma < nb también mc < nd.

algebraicamente esto significa que si ma > nb \to \frac{a}{b} > \frac{n}{m} con b y m positivos.Entonces (1) puede leerse así:

\frac{a}{b} = \frac{c}{d} , cuando cualquier número racional \frac{n}{m} que se menor que \frac{a}{b} es también menor que \frac{c}{d} , mientras cualquier \frac{n}{m} que sea mayor que \frac{a}{b} es también mayor que \frac{c}{d}.

La validez de la condición (1) expresa evidentemente , la circunstancia de que dos números positivos \frac{a}{b} y \frac{c}{d} son diferentes entre si, y solo si, existe un números racional mayor que uno de ellos y menor que el otro.

También su condición para \frac{a}{b} <  \frac{c}{d}  tiene el mismo fundamento y es el siguiente:

ra > lb \land rc > ld para enteros convenientes l y r.

Este tipo de estudios es interesante analizar desde el punto de vista histórico , pero ya está desacostumbrado su uso. En la actualidad se estudia aritméticamente , mediante aproximaciones racionales , en especial decimales (el decimal es como se sabe un racional cuyo denominador es potencia de 10). Por ejemplo el irracional \sqrt2 se reemplaza en la practica por las aproximaciones sucesivas 1; 1,4; 1,41; 1,414;….. (2)

En este ejemplo el número \sqrt2 se llama extremo superior del conjunto infinito determinada por la sucesión de números racionales (2), porque tal número es , por lo menos , tan grande como cualquier elementos de la sucesión (2)

En el siguiente artículo de esta serie veremos los postulados principales de los números reales

Introducción a la teoría de grupos I

Durante varios artículos de este sitio he presentado diferentes características de los conjuntos. Teniendo en base a la teoría de conjuntos existen varias estructuras algebraicas de gran interés en las matemáticas modernas, tales como los grupos, anillos, espacios vectoriales, módulos y sus variantes.

En este articulo voy a comentar una breve introducción a la teoría de grupos, teoría que tiene una relativa juventud y fue sistematizada por grandes matemáticos del siglo XIX y principios del siglo XX, entre ellos Galois, Dedekid, Kummer, Hilbert, Emily Noether , Klein, Burnside etc.

¿Que son los grupos?

Desde el punto de vista del algebra abstracta los grupos son estructuras algebráicas formadas por un conjunto G no vacío y una operación binaria aplicada a todos los elementos de G, que denotaremos como * , que satisface las siguients condiciones:

1- Existe una ley de composición * que a todo par x, y perteneciente a G hacen corresponder a otros elemento de G.

Simbólicamente:

\forall x,y \in G, z = x*y \in G

Esta propiedad se la suelde denominar como propiedad de cerradura en G.

2- Ley asociativa:

(x*y)*z = z*(y*z) , \forall x,y,z \in G

3- Existe un elemento unidad denotado por e (o elemento neutro) tal que:

e*x = x*e = x, \forall x \in G

4- Todo elemento tiene un inverso o simétrico tal que:

\forall x \exists y | x*y = e

Nota: A y se lo suelde denotar como x_-1

Estas expresiones aplican cuando el operador * tiene una expresión multiplicativa, pero también puede tener una expresión aditiva, en ese caso las expresion 1 a 4 son:

1- \forall x,y \in G, z = x + y \in G

2- (x + y) + z = z + (y + z) , \forall x,y,z \in G

3- e + x = x + e = x, \forall x \in G

Nota: Para expresión multiplicativa el elemento unidad de x se denomina neutro y se denota con el símbolo 1. En cambio si la expresión elegida es la aditiva el elemento unidad de x se denomina opuesto y se denota con el símbolo 0.

4- \forall x \exists y | x + y = e

El uso de la expresión multiplicativa o aditiva depende del grupo en cuestión.

Ejemplos:

1- El conjunto \mathbb{R}^+-{0} de los números reales excluido el cero forman un grupo respecto al a multiplicación común. En cambio \mathbb{R} no es un grupo para la multiplicación común porque el elemento 0 no tiene inverso.

2- El conjunto \mathbb{R} de todos los números reales incluidos negativos, positivos y cero es un grupo con respecto a la adición , el neutro es 0 y el opuesto de x es -x

3- Los ejemplos anteriores se tratan de grupos infinitos, en este ejemplo veremos un grupo finito.

4- Consideremos 3 objetos A,B y C, existen 6 permutaciones posibles entre ellos , que simplemente consisten en intercambiar de lugar estos objetos entre si. Para identificarlas les daremos un nombre a cada permutaciones posible de las 6 existentes.

I = \begin{cases} A \to A \\ B \to B \\ C \to B \end{cases} \hspace{2cm}  J = \begin{cases} A \to A \\ B \to C \\ C \to B  \end{cases} \hspace{2cm}  K = \begin{cases} A \to B \\ B \to A\\ C \to A \end{cases}

R = \begin{cases} A \to B\\ B \to C \\ C \to A \end{cases} \hspace{2cm} S = \begin{cases} A \to C \\ B \to B \\ C \to A \end{cases} \hspace{2cm} T = \begin{cases} A \to C \\ B \to A \\ C \to B \end{cases}

Estas permutaciones se pueden operar entre si generando una nueva permutacion

A continuación verificaremos que el conjunto G = {I,J,K,R,S,T} con la operación de permutación que denominaremos * tiene estructura de grupo.

1- Cerradura:

Para verificar esta propiedad debemos operar cada uno de los elemento de G con otro elemento de G y verificar que el resultado también esta en G.

Por ejemplo: J*S =  \begin{cases} A \to A \hspace{0.5cm} (por J) \hspace{0.5cm} A\to C \hspace{0.5cm} (por S)  \\  B \to C \hspace{0.5cm} (por J) \hspace{0.5cm} C\to A \hspace{0.5cm} (por S) \\ C \to B \hspace{0.5cm} (por J) \hspace{0.5cm} B\to A \hspace{0.5cm} (por S) \\ \end{cases} = \begin{cases} A \to C \\ B \to A \\ C \to B \\ \end{cases}

Por lo tanto J * S = T

En cambio S * J = R lo que indica que la operación no es conmutativa. Por lo general los grupos no son conmutativos, si para todo elemento x,y del grupo G x*y = y*x se dice que G es un grupo conmutativo o abeliano.

Se puede comprobar que toda operación de permutacion entre miembro de G esta también miembro de G, o sea \forall x,y \in G x*y \in G. Lo que justifica que satisface la condición de cerradura.

2- Asociatividad

Para verificar este punto debemos demostrar que \forall x,y,x \in G \hspace{0,5cm} x*(y*z) = (x*y)*z

Por ejemplo (J*K)*R = I*R=R y J*(K*R) = J*T = R. Se puede verificar usando la tabla de multiplicación de más abajo que la asociatividad se satisface para todo conjunto de tre elementos de G.

3- Elemento neutro

El elemento neutro es la permutaacion que no sufre cambio alguno en la posicion de sus elementos, en este caso es I.

Verificar que operando por derecha y por izquierda con cualquier otro miembro de G el resultado es ese miembro de G.

4- Inverso

El inverso es aquel elemento de G que operado por derecha y por izquierda con cualquier elemento de G el resultado es la identidad.

Por ejemplo: J*K = K*J = I \hspace{0.5cm} R*R=I en donde R es el inverso de si mismo$

Análogamente se puede probar que todo elemento de G tiene su correspondiente inverso.

Por lo tanto (G,*) tiene estructura de grupo. En particular este tipo de grupo se lo denomina grupo de permutaciones de n elementos (en este caso n = 3) \Box

Podemos construir una tabla de multiplicación para representar todas las operaciones posibles dentro de G.

Asimismo si observamos, veremos ue I,J y K forman un grupo contenido en G, o sea si H={I,J,K} \subset G  \hspace{0.5cm} y\hspace{0.5cm} H es un grupo , entonces H es un subgrupo de G. Se denota como H < G.

Referencias:

1- El concepto de grupo, su potencia y sus lìmites, Las grandes corrientes del pensamiento matematico, EUDEBA, 1962

2- Theory of Groups of Finite Order, Willian Burnside, 1897

Un primo muy particular

Siguiendo con la serie de post sobre enteros notables, en esta oportunidad quiero compartir un numero entero que además de ser primo es el mas grande los los números primos conocidos que removiendo dígitos uno a uno desde la derecha todos los números resultantes también son primos.

73939133

Usando SageMath (www.cocalc.com) podemos verificar la propiedad ante dicha.