Teoría de Conjuntos 2 – Álgebra de conjuntos

Inclusión

Dados dos conjuntos $A$ y $B$ , se dice que $A$ está incluido en $B$ o que $A$ es un subconjunto de $B$ y se escribe $A \subset B$ si todo elemento que pertenece a $A$ también pertenece a $B$ . Si $A$ no está incluido en $B$ se denota $A\not \subset B$ . Es decir $A \subset B \Leftrightarrow$ { $x: x\in A \Rightarrow x \in B$ }

Un conjunto se dice que es vacío si no tiene elementos, a ese conjunto particular se los denota con el símbolo $\emptyset$ . Por definición de vacío $\emptyset \subset A$ para cualquier conjunto A.

Se dice que un subconjunto $A$ de $B$ es propio si existen algunos elementos de $B$ que no pertenece a $A$ . Es decir si $A \subset B$ el conjunto $A$ es propio de $B \Leftrightarrow \exists b \in B / b \not \in A$

Ejemplos:

Sea $A$ = {1,2,3} y $B$ = {1,2,3,4,5,6} $\Rightarrow A \subset B$

Por lo tanto $A$ es un subconjunto propio de $B$ .

Pertenencia

La relación de pertenencia indica que un elemento pertenece a un conjunto. Por ejemplo sea los números, 1,2,3,4…. pertenecen al conjunto de los números naturales $\mathbb {N}$ . Esta relación se denota con el símbolo $\in$ , y si no pertenece se usa $\not \in$ .

Ejemplo: Sea $A$ = {a,b,c,d} y $B$ = {c,d,e,f,g} , los elementos a,b,c,d $\in B \wedge A$ , en cambio los elementos e,f,g $\in B \wedge \not \in A$

Igualdad

Dos conjuntos $A$ y $B$ con iguales si todos los elementos de $A$ y $B$ son iguales. Teniendo en cuenta la definición de inclusión $A =B\Leftrightarrow A \subset B \wedge B \subset A$

Unión

La unión de dos o más conjuntos es un conjunto formado por todos los elementos de los conjuntos que se unen. Esta operación se denota con el simbolo $\cup$

Ejemplo:

Sea $A$ = {a,b,c,d} y $B$ = {c,d,e,f,g} $\Rightarrow A \cup B =$ {a,c,d,e,f,g}.

Como se ve en el ejemplo, los elementos en común entre ambos conjuntos no se repiten en el conjunto resultado.

Intersección

La intersección de dos o más conjuntos es un conjunto formado por todos los elementos de los conjuntos que son en común a todos los conjuntos. Esta operación se denota con el símbolo $\cap$ .

Ejemplo:

Sea $A$ = {a,b,c,d} y $B$ = {c,d,e,f,g} $\Rightarrow A \cap B =$ {c,d}.

Como se ve en el ejemplo, los elementos en común son los únicos que forman el conjunto intersección.

Complemento

Dado el conjunto $U$ de todos los elementos en estudio y sea $A$ un subconjunto de $U$ se define el complemento de $A$ a todos los elementos de $U$ que no pertenezcan a $A$ . Se denota como $A^c$ .

$A^c$ = {x: x / x $\in U \wedge x \not \in A$ }.

Ejemplos:

$U = \mathbb{N}$ y $\Rightarrow A$ = {5,6,7,10,11,12} $A^c$ = {1,2,3,4,8,9,13,14,15…..}

2. Sea $U$ = {a,b,c,d,e,f} y $A$ = {a,b,c} $\Rightarrow A^c$ = {d,e,f}

Ley de De Morgan

La ley de De Morgan se denomina asi en honor al matematico ingles nacido en la India Augustus De Morgan (1806-1871). Esta ley permite relacionar las operaciones de union , intersección y complemento de conjuntos.

Sea $A , B$ conjuntos arbritarios.

$(A \cup B)^c$ = $A^c \cap B^c$ y $(A \cap B)^c$ = $(A^c \cup B^c )$

Ejemplos:

$U$ = {a,b,c,d,e,f} , $A$ = {a,b,c} y $B$ = {c,d,e} $\Rightarrow (A \cap B)^c$ = {a,b,d,e,f} = $A^c \cup B^c$

Diferencia

La diferencia entre los conjuntos $A$ y $B$ es el conjunto de elementos formado por elementos de $A$ que no pertenezcan a $B$ . Se denota $A-B$ , $A/B$ o $A \sim B$ . En este curso usaremos la primera forma.

$A-B$ = { $x: x \in A \wedge x \not \in B$ }

Ejemplos: Sea $A$ = {1,2,3,4,5,6,7} y $B$ = {4,5,6} $A-B$ = {1,2,3,7}

Diferencia simétrica

La diferencia simétrica entre $A$ y $B$ es el conjunto formado por los elementos de ambos que no tengan elementos en común, se denota con el símbolo $\bigtriangleup$ .

$A \bigtriangleup B$ = { $x:x \in A \wedge x \in B \wedge x \not \in A \cap B$ }.

Teoremas:

$A \bigtriangleup B$ = $(A \cup B) \cap (A \cap B )^c$
$A \bigtriangleup B$ = $(A \cap B^c ) \cup (A^c \cap B )$

Propiedades:

$A \bigtriangleup B$ = $B \bigtriangleup A$ (Propiedad conmutativa).
$(A \bigtriangleup B) \bigtriangleup C$ = $A \bigtriangleup (B \bigtriangleup C)$ (Propiedad asociativa)
$A \bigtriangleup \emptyset$ = $A$
$A\bigtriangleup A$ = $\emptyset$
$(A \bigtriangleup B) \cap C$ = $(A \cap B) \bigtriangleup (B \cap C)$ (Propiedad distributiva de la intersección con respecto a la diferencia simétrica)
$(A \bigtriangleup B)$ = $\emptyset \Leftrightarrow A = B$
$(A\bigtriangleup B) \cup (B \bigtriangleup C)$ = $( A \cup B \cup C) - (A \cap B \cap C)$