Teoría de Conjuntos 2 – Álgebra de conjuntos

Inclusión

Dados dos conjuntos A y B , se dice que A está incluido en B o que A es un subconjunto de B y se escribe A \subset B si todo elemento que pertenece a A también pertenece a B . Si A no está incluido en B se denota A\not \subset B . Es decir A \subset B \Leftrightarrow { x: x\in A \Rightarrow x \in B  }

Un conjunto se dice que es vacío si no tiene elementos, a ese conjunto particular se los denota con el símbolo \emptyset . Por definición de vacío \emptyset \subset A para cualquier conjunto A.

Se dice que un subconjunto A de B es propio si existen algunos elementos de B que no pertenece a A. Es decir si A \subset B el conjunto A es propio de B \Leftrightarrow \exists b \in B / b \not \in A

Ejemplos:

  1. Sea A = {1,2,3} y B = {1,2,3,4,5,6} \Rightarrow  A \subset B

Por lo tanto A es un subconjunto propio de B .


Pertenencia

La relación de pertenencia indica que un elemento pertenece a un conjunto. Por ejemplo sea los números, 1,2,3,4…. pertenecen al conjunto de los números naturales \mathbb {N}. Esta relación se denota con el símbolo \in, y si no pertenece se usa \not \in .

Ejemplo: Sea A = {a,b,c,d} y B = {c,d,e,f,g} , los elementos a,b,c,d \in B \wedge  A , en cambio los elementos e,f,g \in B \wedge \not \in A

Igualdad

Dos conjuntos A y B con iguales si todos los elementos de A y B son iguales. Teniendo en cuenta la definición de inclusión A =B\Leftrightarrow A \subset B \wedge B \subset A

Unión

La unión de dos o más conjuntos es un conjunto formado por todos los elementos de los conjuntos que se unen. Esta operación se denota con el simbolo \cup

Ejemplo:

Sea A = {a,b,c,d} y B = {c,d,e,f,g} \Rightarrow  A \cup B = {a,c,d,e,f,g}.

Como se ve en el ejemplo, los elementos en común entre ambos conjuntos no se repiten en el conjunto resultado.

Intersección

La intersección de dos o más conjuntos es un conjunto formado por todos los elementos de los conjuntos que son en común a todos los conjuntos. Esta operación se denota con el símbolo \cap .

Ejemplo:

Sea A = {a,b,c,d} y B = {c,d,e,f,g} \Rightarrow  A \cap B = {c,d}.

Como se ve en el ejemplo, los elementos en común son los únicos que forman el conjunto intersección.

Complemento

Dado el conjunto U de todos los elementos en estudio y sea A un subconjunto de U se define el complemento de A a todos los elementos de U que no pertenezcan a A . Se denota como A^c .

A^c = {x: x / x \in U \wedge x \not \in A }.

Ejemplos:

U = \mathbb{N} y \Rightarrow A = {5,6,7,10,11,12} A^c = {1,2,3,4,8,9,13,14,15…..}

2. Sea U = {a,b,c,d,e,f} y A = {a,b,c} \Rightarrow A^c = {d,e,f}

Ley de De Morgan

La ley de De Morgan se denomina asi en honor al matematico ingles nacido en la India Augustus De Morgan (1806-1871). Esta ley permite relacionar las operaciones de union , intersección y complemento de conjuntos.

Sea A , B conjuntos arbritarios.

(A \cup B)^c = A^c \cap B^c y (A \cap B)^c = (A^c \cup B^c )

Ejemplos:

U = {a,b,c,d,e,f} , A = {a,b,c} y B = {c,d,e} \Rightarrow (A \cap B)^c  = {a,b,d,e,f} = A^c \cup B^c

Diferencia

La diferencia entre los conjuntos A y B es el conjunto de elementos formado por elementos de A que no pertenezcan a B . Se denota A-B , A/B  o A \sim B . En este curso usaremos la primera forma.

A-B = {x: x \in A \wedge x \not \in B }

Ejemplos: Sea A = {1,2,3,4,5,6,7} y B = {4,5,6} A-B = {1,2,3,7}

Diferencia simétrica

La diferencia simétrica entre A y B es el conjunto formado por los elementos de ambos que no tengan elementos en común, se denota con el símbolo \bigtriangleup .

A \bigtriangleup  B = { x:x \in A \wedge x \in B \wedge x \not \in A \cap B }.

Teoremas:

  1. A \bigtriangleup  B = (A \cup B) \cap (A \cap B )^c
  2. A \bigtriangleup  B  = (A \cap B^c ) \cup (A^c  \cap B )

Propiedades:

  1. A \bigtriangleup B = B \bigtriangleup  A (Propiedad conmutativa).
  2. (A \bigtriangleup B) \bigtriangleup  C = A \bigtriangleup  (B \bigtriangleup  C) (Propiedad asociativa)
  3. A \bigtriangleup  \emptyset = A
  4. A\bigtriangleup  A = \emptyset
  5. (A \bigtriangleup  B) \cap C = (A \cap B)  \bigtriangleup (B \cap C) (Propiedad distributiva de la intersección con respecto a la diferencia simétrica)
  6. (A \bigtriangleup B) = \emptyset \Leftrightarrow  A = B
  7. (A\bigtriangleup B) \cup (B \bigtriangleup  C) = ( A \cup B \cup C) - (A \cap B \cap C)

Ejemplos:


A = {1,2,3,4} y B = {2,5,4,7} entonce A \bigtriangleup  B ={1,3,5,7}

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