Teoría de conjuntos 5 – Recubrimiento y partición

En este curso de teoría de conjuntos hemos visto las operaciones entre conjuntos, las relaciones , aplicaciones y funciones entre conjuntos. En este capitulo estudiaremos los conceptos de cubrimiento (o recubrimiento) y partición de un conjunto.

Definición: Sea $A$ un conjunto y $C$ una colección finita de conjuntos. Se dice cubrimiento de $A$ por $C$ cuando la unión de los conjuntos de la colección $C$ incluye a todos los elementos de $A$

$A \subset \bigcup_{i \in I} C_{i}$

Si $A = \bigcup_{ i \in I} C_{i}$ se dice que $\forall i$ $C_{i}$ es una partición de $A$

Cabe destacar que $\forall i,j \in I \wedge i \not = j$ $C_{i} \cap C_{j}=\emptyset$ , es decir son conjuntos disjuntos dos a dos.

Ejemplo:

Sea $A$ = { $a,b,c$ } determinar las particiones de $A$ .

$\mathcal{P}$ = {{a},{b},{c}},{{a,b}, {c}},{{a,c},{b}},{{b,c},{a}},{{a,b,c}}

De esta forma se puede pensar al conjunto de particiones como porciones de una pizza que unidas forman la pizza completa pero que cada porción no comparte contenido de la pizza con las otras porciones. Lo mismo pasa si las agrupamos de subconjuntos de mas de un elemento, cada subconjunto será formado por partes de pizza que no estarán en los otros subconjuntos de la misma partición.

Los conjuntos se puede agrupar por elementos que tienen una característica en común , por ejemplo en la foto de la pizza podemos ver porciones con queso rallado, longaniza, jamón y choclo. Empezando por la partes con longaniza y recorriendo en sentido de las agujas del reloj tenemos: Conjunto Longaniza : {1,2}, conjunto choclo: {3,4}, conjunto queso rallado: {5,6} y conjunto jamón: {7,8}.

Formalmente , la relación entre elementos de subconjuntos con elementos comunes que dice que forman una Relación de equivalencia, cada uno de los subconjuntos mencionados se denominan clases, y un elemento en particular, representante de la clase al que pertenece.

En símbolos: Sea $a,b \in \mathbb{S}$ $[a] = [b]$

Ejemplo 2:

En este ejemplo si agrupamos por clases según el color, cada clase tiene un solo elemento.

Ejemplo 3:

En este caso nombrando cada clase por su color.

Verde= {A8}, Violeta= {A7,A4}, Marrón= {A5}, Rosa= {A6,A2}, Celeste={A9}, Amarillo={A1,A3}.

Denominando $C$ al conjunto total tenemos

$C=$ { $Verde \cup Violeta \cup Marron \cup Rosa \cup Celeste \cup Amarillo$ }

Ejemplo 3:

La totalidad de los triangulo del plano se pueden partir en clases según diferentes criterios. Por ejemplo, el conjunto se triángulos que tiene igual área. Sea $a,b \in \mathbb{T}$ $a$ pertenece a la misma clase que $b$ si el área de $a$ es igual al área de $b$

Se representa como $[a]$ como la clase que agrupa elementos con la misma característica de $a$ . Entonces $a$ es el representante de la clase.

En símbolos: Sea $a,b \in \mathbb{T} \land [a]=[b] \iff a \in Clase(A) \land b \in Clase(A)$ Si $A_{i}$ y $A_{j}$ son partes de $\mathbb{T} \Rightarrow$ $A_{i} = A_{j} \lor A_{i} \cap A_{j} = \emptyset$

Cuantos elementos puede tener un partición de un conjunto de n elementos?

La cantidad de particiones posibles para un conjunto finito solo depende de su cardinal n y se denominan números de Bell. Los primeros números de Bell son B₀ = 1, B₁ = 1, B₂ = 2, B₃ = 5, B₄ = 15, B₅ = 52, B₆ = 203, …

Para más detalles sobre los números de Bell ver https://oeis.org/A000110 (en inglés)

Ejercicio:

Sea $A$ = { $x:x \in \mathbb{N}$ / $0 < x \leq 10$ }
Hallar una colección de conjuntos de $A$ tal que cada subconjunto $A_{i}$ de $A$ están formados por elemento $x \in \mathbb{N}$ tal que su suma es i.