Introducción a la Teoría de Grupos III – SageMath

En el articulo anterior indicamos sin verificar que el conjunto G de las permutaciones que mantienen invariante al cuadrado es un grupo respecto a la composición formada por rotaciones y reflexiones.

Verificar que cada permutacion entre dos elementos generar otro elemento G , que cada elemento tiene inverso, que toda terna de elemento G es asociativo es un trabajo largo y tedioso y propenso a errores. Este ejercicios seria útil hacer 30 años o más porque era la única forma de hacerlo, pero afortunadamente hoy en día existe varias aplicaciones y librerías matemáticas que nos facilitan esa tareas, pudiendo dedicar tiempo al análisis de los resultados y no a la obtención de los resultados en si.

Mi software favoritos para el tema de Teoría de Grupos es el Sagemath, una librería basada en el lenguaje Python muy robusta y completa. No es mi intensión explicar el uso de esa librería y la programación en Python, sino mostrar cálculos realizados con ese software. Para una buena introducción recomiendo consultar las documentación de SageMath que pueden visitar en Tutorial de SageMath .

Notación de ciclos:

En el articulo anterior sobre Grupos de Permutaciones se mostró la notación matricial para denotar permutaciones de un grupo. En este caso se explicara la notación cíclica, que es la utilizada en toda documentación sobre grupos y aplicada en software de matemáticas, especialmente en SageMath.

Sea:

\begin{pmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \cdots a_n \\ f(a_1) & f(a_2) & f(a_3) \cdots f(a_n)  \end{pmatrix} ,

podemos representar esta permutacion de n elementos de la siguiente forma

(a_1 \to f(a_1) \to f(f(a_1)) \to f(f(f(a_1)) ) \cdots a_n \to f(f( \cdots f(a_n))) \cdots )

Como el conjunto de todas las permutaciones de G forman un grupo con la operación de composición, toda imagen de cualquier elemento a_n también esta en G.

Por ejemplo:

Sea \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 3 & 4 & 1 \end{pmatrix},

Usando notación cíclica seria: (1 \hspace{0.1cm} 2 \hspace{0.1cm} 3 \hspace{0.1cm} 4)

Volviendo el ejemplo del grupo de las permutaciones del cuadrado, las permutaciones se representan como:

Nota: En SageMath los elementos dentro del ciclo se separan con coma

r1 = () #Identidad: Estado inicial
r2 = (1,2,3,4) #Rotación 90º en sentido antihorario.
r3 = (1,3)(2,4) #Rotación 180º en sentido antihorario.
r4 = (1,4,3,2) #Rotación 270º en sentido antihorario.
fh = (1,4)(2,3) #Reflexión horizontal.
fv = (1,2)(3,4) #Reflexión vertical.
fd = (1,3) #Reflexión diagonal.
fc = (2,4) #Reflexión contradiagonal.


Tabla de Cayley:

Orden de un elemento de un grupo:

El orden del elemento a \in G se define como el numero entero mas chico tal que a^n = e

O sea para calcular el orden de un elemento de un grupo, de debe operar sobre si mismo hasta conseguir como resultado la identidad del grupo. Si ese número no existe se dice que el elemento del grupo tiene orden infinito.

Por ejemplo: Para el elemento (1 \hspace{0.1cm} 2 \hspace{0.1cm} 3 \hspace{0.1cm} 4) es 4

En efecto, efectuando operaciones sucesivas 4 veces llegamos a la identidad. Si observamos la permutaciones que forman a G , las correspondiente a rotaciones tiene orden 4, y las correspondientes a reflexiones tienen orden 2.

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